Soluciones a algunos de los tipos de integrales

9.Método de integración por partes.-

Se trata de otro método que permite resolver cierto tipo de integrales. Veamos: P Sea u(x) una función. Para abreviar la expresaremos por u. Su derivada será u´ y su diferencial du = u´dx P Sea v(x) otra función. Para abreviar la expresaremos por v. Su derivada será v´ y su diferencial dv = v´dx P Supongamos que deseamos resolver una integral de la forma siguiente: I u dv u v dx = = ⋅ ′ ∫∫ Es decir, la función integrando es el producto de la función u y la derivada de v. Dicho de otro modo, se trata de hallar las primitivas de una función que es el producto de una función u por la diferencial de otra v.

¡Pues bien! Vamos a deducir una fórmula que nos permitirá resolver integrales de este tipo. Veamos: O Sea (u·v)(x) = u (x)·v(x) la función producto de u y v. Para abreviar expresaremos u·v O Derivemos la función producto: (u·v)´= u´· v + u · v´ (recuerda “derivada de un producto) O La diferencial de la función producto será: d(u·v) = (u·v)´dx = v · du + u · dv = v · u´dx + u · v´dx O Si consideramos la igualdad d(u·v) = v · du + u · dv e integramos en ambos miembros: { d u v v du u dv v du u dv ( ) ( ) ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ∫∫∫ ∫ integral de u na suma O Considerando que la integración es la operación recíproca de la derivación, es decir, “la integral de la derivada de una función es esa función”: d u v u v dx u v ()() ⋅ = ⋅ ′ = ⋅ ∫∫ O Considerando las dos igualdades anteriores, podemos poner: u v v du u dv ⋅ = ⋅ + ⋅ ∫∫ O Recordemos que el objetivo es calcular la integral , por lo que despejando: I u dv =⋅ ∫

que es la fórmula del método de integración por partes, la cual nos permite resolver la integral si antes somos capaces de resolver la integral I u dv =⋅ ∫ v du ⋅∫

9.1.Observaciones.- Hagamos algunas observaciones importantes que deben considerarse al aplicar este método de integración: Î Este método de integración se emplea cuando la función integrando es el producto de una función (u) por la derivada de otra (v), es decir:

{ I u v dx = ⋅ ′ ∫ integrando Ï En la práctica, si empleamos este método, debemos separar el integrando en dos partes.

u dv u v v du ⋅ = ⋅ − ⋅ ∫∫

Matemáticas de 2º de bachillerato página 65 Integral indefinida

Una es la función u = u(x) y la otra dv = v´(x) dx. Saber elegir adecuadamente quien hace el papel de u(x) y quien el de v´(x) es el paso más difícil en muchos casos. Ð Suele ocurrir que al hacer una elección para u(x) y v´(x), la integral, lejos de resolverse, se complique más. Esto significa que no hemos hecho la elección correcta y debemos intentarlo con una nueva. Ñ Nótese que para resolver al integral debemos hallar el producto de dos I udv = ∫ funciones (u·v), lo cual no representa ninguna dificultad y otra integral . vdu∫ Esta última integral debe ser más fácil de resolver que , ya que si fuese más I udv = ∫ complicada el método no sería útil (evidentemente, no nos interesa que para resolver una integral tengamos que hacer una más complicada que la que nos dan). Ò Puede ocurrir que la integral que debemos resolver para hallar , se vdu∫ I udv = ∫ tenga que resolver por este mismo método, es decir, hay que aplicar el método de integración por partes dos veces. Ó Para recordar la fórmula de integración por este método, existe una regla nemotécnica que es facilita recordarla y así evitar un esfuerzo memorístico. Veamos:

» Regla nemotécnica

Veamos algunos ejemplos de aplicación de este método.

Ejemplo 32.- Intentemos resolver por el método de integración por partes I x Lxdx = ∫ 2 Veamos: S La función integrando es f x x Lx () = 2

S Efectuamos la siguiente elección :

ux dv Lxdx = =

    

2

S Aplicando la fórmula tenemos: I x Lxdx udv u v vdu = = = ⋅ − ∫∫∫ 2 S Veamos que elementos conocemos y desconocemos de la fórmula anterior:

elementos de la formula

u conocida ya que u x v desconocida aunque conocemossu derivada v Lx du la podemos hallar En efecto du xdx

&

,

,

.:

→= → ′ = →=

    

2

2 S Debemos hallar la función v(x) para poder aplicar la fórmula. Veamos: » Supongamos que esta integral nos resulta difícil.v dv v x dx Lx dx = = ′ = ∫∫∫ () Nos preguntamos: ¿Habremos hecho una elección correcta? ¿Habrá una elección mejor que la anterior? Vamos a intentarlo.

R Hacemos la siguiente elección:

u Lx dv x dx = =

     2

u dv u v v du ⋅ = ⋅ − ⋅ ∫∫ “Un día vi un vigilante vestido de uniforme”

Matemáticas de 2º de bachillerato página 66 Integral indefinida

R Aplicando la fórmula tenemos: I Lx x dx udv u v vdu = ⋅ = = ⋅ − ∫∫∫ 2 R Veamos que elementos conocemos y desconocemos de la fórmula anterior:

elementos de la formula

u conocida ya que u Lx v desconocida aunque conocemossu derivada v x du la podemos hallar En efecto du dx x

&

,

,

.:

→=

→ ′ =

→=



  

  

2

1

R Debemos hallar la función v(x) para poder aplicar la fórmula. Veamos: ³ Hemos dejado la constante C para el final{v dv v x dx x dx inmediata x = = ′ = = ∫∫∫ () 2 3 3 R Ahora conocemos todos los elementos que intervienen en la fórmula y podemos aplicarla:

I x Lxdx udv u v vdu Lx

xx x dx

x Lx x

dx

x Lx

I = = = ⋅ − = ⋅ − = − = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ 2 33 3 2 3 133 1 3 3 3

Hemos llamado , integral que debemos resolver. I x dx1 2 3 = ∫ R Resolvamos la integral I1 :

» Hemos dejado la constante C para el finalI x dx x dx xx 1 2 2 33 3 1 3 1 3 3 9 = = = = ∫∫ R Substituyendo:

() ()

I x Lxdx x Lx x

C

x Lx x

C

x Lx

C

x Lx C= = − + = − += − += − +∫ 2 33 33 3 33 39 3 9 31 9 1 9

Ejemplo 33.- Resolvamos por el método de integración por partes la integral I x x dx = ∫ cos

U Debemos hacer una elección

u dv dx = =

  

?

? U Después de hacer la elección y al aplicar la fórmula, nos encontraremos que debemos resolver dos integrales:

Debemos resolver v dv vdu =     ∫ ∫

X Hagamos la siguiente elección:

ux dv v dx x dx = = ′ =

   cos

X Hallemos los elementos que faltan de la fórmula:

du u dx dx dx v dv x dx senx = ′ = = = = =

     ∫∫

...