Soluciones del Shuyriguin

Solución de problemas del Shuyriguin

“Geometría en Olimpiadas Matemáticas”

Jesús Jerónimo Aguilar

Christopher Cárdenas Naveja

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Problema 1.18: Notemos que el como Estados hablando en el problema de un paralelogramo, notemos que  y que , luego notemos que en todo paralelogramo tenemos que  y , luego fijemonos que como estan enter paralelas, los triangulos  y ;  y          respectivamente compartment los musmos angulo, luego notemos que angulos opuestos por el vertice tenemos que ; conjuntando lo anterior tenemos que:[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

En los triangulos  y :[pic 15][pic 16]

Lo cual menos indica que se parten en sus puntos medios las diagonales de un paralelogramo.[pic 17]

Problema 1.19: Notemos que los ángulos  y  son opuestos por el vértice por lo cual  , además notemos que como  de; de lo anterior por el criterio  tenemos que los triángulos , de lo anterior tenemos que por lo tanto    , lo mismo ocurre de manera similar con los triángulos  y , por lo anterior  es un paralelogramo.[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

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Problema 1.20: Notemos que los trinagulos  debido a que  y  , ahora notemos que los tringulos  debido a que  y  , de lo cual sacamos que por lo anterior de que  y  . Ahora notemos lo mismo en las semjanzas de los triángulos  y  de los cual sacamos que  y , por lo anerior podemos afirmar que  es un paralelogramo, y que y como  y  son diagonales, recordaremos que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio por las congruencias de los triángulo.[pic 59][pic 60][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]

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