TRONCO DE PRISMA

PRISMA

1. Definición.

Se llama prisma a un poliedro que tiene dos caras congruentes y paralelas, llamadas bases, y las demás caras llamadas caras laterales, son regiones encerradas por paralelogramos.

2. Elementos

Bases Caras Laterales Aristas Laterales Altura Vértice

Son las regiones poligonales congruentes y paralelas Son las regiones encerradas por “paralelogramos”: Son las intersecciones de las caras laterales:

; ; ; …

Es la distancia entre las bases. Es el punto de concurrencia de tres o más aristas.

ÁREA Y VOLUMEN DEL PRISMA

ÁREA VOLUMEN

 En general para cualquier prisma la ecuación para determinar el área es:

AL : Área lateral

2Pr: Perímetro de la sección recta.

a : Longitud de la arista lateral.

2Pb: Perímetro de la base

 Para prismas rectos el perímetro de la sección recta coincide con el perímetro de la base y la arista lateral coincide con la altura.

 El área total se determina sumando las áreas de las dos bases y el área lateral.

 El volumen se determina multiplicando el área de la base por la altura:

 También el volumen es igual al producto del área de la sección recta y la longitud de la arista lateral.

3. PRISMA REGULAR.

Es un prisma recto cuyos polígonos de las bases son regulares.

4. SECCIÓN RECTA DE UN PRISMA.

Es la sección producida por un plano perpendicular a las aristas laterales.

5. TRONCO DE PRISMA.

Es la porción de prisma comprendida entre la base y la sección producida por un plano no paralelo a la base y que interseca a todas las aristas laterales.

En la figura: Dado el prisma EFGH – ABCD y sección PQRS no paralelo a las bases, entonces EFGH – PQRS es un tronco de prisma.

• VOLUMEN DE UN TRONCO DE PRISMA RECTO TRIANGULAR

• VOLUMEN DEL TRONCO DE PRISMA OBLICUO TRIANGULAR.

6. PARALELEPÍPEDOS.

Es un prisma cuyos polígonos de las bases son paralelogramos.

 El área del paralelepípedo recto se halla con:

 El volumen de paralelepípedo:

 El volumen para el paralelepípedo oblico:

Ejemplo

En un paralelepípedo rectangualr las diagonales de las caras miden: ; y . Halla el área total de dicho poliedro.

Resolución:

 Se tiene el gráfico:

 Por el Teorema de Pitágoras se tiene.

 Sumando se tiene:

 Simplificando:

 De donde se deduce que: a= 3 cm; b= 7 cm; c= 5 cm.

Por tanto:

TALLER DE PROBLEMAS

1. En un prisma oblicuo si la sección recta es un triángulo circunscrito a un círculo de 3 m de radio y el área lateral del sólido es .

a) Exprese el volumen de un prisma en función del semiperímetro de la sección recta, del inradio y de la arista.

b) Calcule el producto del semiperímetro de la base por la arista lateral.

2. La base de un tronco de prisma regular es un cuadrado de 3m de lado. Las bases forman un ángulo de 45º entre sí y si dos aristas laterales opuestas miden 8 m cada una. Determina el volumen del tronco de prisma.

3. En un triángulo equilátero ABC, por sus vértices se levantan las perpendiculares a dicho triángulo tales como: AM=1 m; BN=2 m y CP=3 m. Si el área de desarrollo de la superficie del tronco de prisma es ; halla el volumen del tronco de prisma.

4. La figura representa un prisma hexagonal regular de arista y altura . Entonces el ángulo de la figura mide:

5. En un triángulo ABC, se trazan las bisectrices interiores de los ángulos ABC, ADB y BDC respectivamente. (D; E y F puntos del triángulo). Si . Halla AB.

6. En un prisma triangular recto ABC – DEF, y su volumen . Halle el área del triángulo BDC.

7. Calcula el volumen de una esfera que está inscrita en un cono recto que a su vez está inscrito en un cubo de arista .

8. En el gráfico mostrado ABCD es una región paralelográmica de área . Si y la distancia del punto medio de la mediana en el triángulo AEG a la base ABCD es 3 cm, calcula el volumen total del sólido mostrado.

TALLER DE EXTENSIÓN

1. Por los vértices A y C de un cuadrado ABCD se levantan las perpendiculares y de 6 m y 9 m de longitud, además AB=2m.

o ¿Qué representan los sólidos P-ADC-Q y P-ABC-Q?

o Calcula el volumen del sólido total.

o Calcula el volumen del tetraedro P – BQD.

2. La superficie total de un cubo es S. Entonces la diagonal del cubo es igual:

3. Las diagonales de tres caras diferentes de un paralelepípedo rectangular miden .

o Si a, b y c son las dimensiones del paralelepípedo, calcule el valor numérico de ; y .

o Calcule el valor de a, b y c.

o Calcula el volumen y el área total del sólido.

4. Calcular el volumen de un tronco de prisma triangular recto si un ángulo de la base mide 60º y los lados que forma dicho ángulo miden 4 cm y . Además las aristas laterales miden 4; 6 y 8 cm.

5. En el siguiente tronco de prisma: AB = 5, BC=3, AF=10 y AC=4, calcular DC y BE para que su volumen y área lateral sean respectivamente 48 y 98.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una cierta variable; las cuales se verifican para todo valor de la variable, que no indetermina a la razón trigonométrica existente en la igualdad.

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

I. I.T. Recíprocas

II. I.T. Por división

III. I.T. Pitagóricas

Algunas comprobaciones:

En la C.T. mostrada; recuerda que: M = (cos; sen)

Tipo demostración:

1. Demostrar:

sen3x.cscx.cot2x = cos2x

Resolución:

Trabajando en el primer miembro, pasaremos a senos y cosenos; tratando de que al reducir nos quede la expresión del segundo miembro:

...