Taller para el desarrollo del pensamiento lógico.

Universidad Tecnológica Metropolitana

Vice Rectoría académica

Unidad de Innovación Curricular

Taller para el desarrollo del pensamiento lógico.

Profesor:  Gustavo A. Báez Castillo.

Apunte N° 4. Modos de operación de las ciencias deductivas. Los números reales como ejemplo de razonamiento deductivo

Como hemos visto en clases, las ciencias formales se caracterizan por tener una estructura y reglas de operación que regulan la interacción de los elementos dentro de conjunto. En este caso, un conjunto muy particular es el conjunto de los números reales, el cual presentamos a continuación, como un ejemplo, para observar el modo de trabajo de las ciencias formales.

Definamos al conjunto de los números reales como un conjunto no vacío designado como R En él se define una relación de igualdad “ = ” y dos operaciones algebraicas “ + ” y      “ * ”

Operaciones en ℜ  (axiomas)

Adición o Suma (+) : (a,b) ∈ ℜ → (a + b) ∈ ℜ

Multiplicación o producto ( * ) : (a,b) ∈ ℜ → a * b ∈ ℜ

Propiedades de las operaciones ( + ) y ( * ) :

B1 Conmutatividad : (a + b) = (b + a)

B2 Asociatividad : a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

B3 Existe un elemento neutro para la suma : (a + 0) = (0 + a) = a

B4 Existencia de elementos inversos para la suma : [ a + (-a) ] = [ (-a) + a ] = 0

B5 Conmutatividad : (a * b) = (b * a)

B6 Asociatividad : a * ( b * c ) = ( a * b ) * c

B7 Existe un elemento neutro para la multiplicación: (a * 1) = (1 * a) = a

B8 Existencia de inversos para la multiplicación, si a ≠ 0 : (a * a-1) = (a -1 * a) = 1

B9 Ley distributiva: a * ( b + c ) = a * b + a * c

Observaciones:

1. Los axiomas, delimitan o definen al conjunto de los números reales como “cuerpo algebraico”. Queda propuesto para el estudiante autónomo e inquisitivo, indagar qué es lo que significa esta afirmación.
2. El estudio de los axiomas, al igual que las propiedades que se deducen de estos, debe orientarse por el entendimiento de las funciones que estos definen, más allá de del aprendizaje de la operatoria, por ejemplo los símbolos de suma y producto, así como la notación para inversos aditivos y multiplicativos.
3.  Los teoremas debemos deducirlas desde los axiomas.
4. La compatibilidad entre las operaciones suma, producto y la relación de igualdad, se establece mediante las siguientes implicaciones:

1.  Si (a = b) ⇒ [(a + c) = (b + c)]
2.  Si (a = b) ⇒ [(a * c) = (b * c)]

Observemos algunas demostraciones:

Sea (A,+,·) cuerpo algebraico y sea “a” un elemento de A, tal que cumple con los axiomas de cuerpo, entonces, demuestre utilizando los axiomas la siguiente igualdad.

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