Tc2 ED UNAD

ACTIVIDAD No. 1

El trabajo colaborativo 2 está compuesto con los siguientes ejercicios donde los participantes del grupo los deben desarrollar realizando los aportes pertinentes:

Resuelva la ecuación diferencial utilizando la ecuación de Bernoulli.

dy/dx+1/x y=x^3 y^3

Sustituimos u=y^(1-n)

u=y^(-2)

u^'=-2y^(-3) y'

y^(-3) y^'+1/x y^(-2)=x^3

Sustituimos en la ecuación original

-1/2 du/dx+1/x u=x^3

Multiplicamos toda la ecuación por -2

du/dx-2/x u=〖-2x〗^3

Ahora usamos el siguiente factor integrante e^(-∫▒〖2/x dx〗) para solucionar la ecuación lineal.

e^(-∫▒〖2/x dx〗)=e^(-2lnx)=e^(lnx^(-2) )=x^(-2)

x^(-2) [du/dx-2u/x]=-2x

d/dx [x^(-2).u]=-2x

Integramos a ambos lados de la ecuación:

x^(-2).u=-x^2+c

Multiplicamos por x^2 para despejar u

u=〖-x〗^4+cx^2

y^(-2)=-x^4+cx^2

y^2=1/(〖-x〗^4+cx^2 )

y=√(1/(〖-x〗^4+cx^2 ))

Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes y resuélvalas.

y^''+y^'+y=0

Esta es una ecuación lineal homogénea de coeficientes constantes.

Ahora acudimos a armar la ecuación característica.

m^2+m+1=0

m_1=(-1+√((1)^2-4(1)(1) ))/2(1)

m_1=(-1+√(-3))/2

m_2=(-1-√((1)^2-4(1)(1) ))/2(1)

m_2=(-1-√(-3))/2

m=(-1±√3i)/2

=ce^(-x/2) sen(√3/2 x)+c_(2 ) e^(-x/2) cos(√3/2 x)

Esta es una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes.

b. y^''-y^'-2y=0

Amamos la ecuación característica.

m^2-m-2=0

(m-2)(m+1)=0

m_1=2 m_2=-1

y=〖ce〗^2x+〖c_2 e〗^(-x)

c. y^[3] +y^[2] -5y^'+3y=0

Esta es una ecuación lineal homogénea de coeficientes constantes

Armamos la ecuación característica.

m^3+m^2-5m+3=0

Aplicamos el método de división sintética

(■(1) ■(1@1) ■(-5@2) ■(3@-3))/■(1&2&-3&0) [1┤

(m-1)(m^2+2m-3)

Ahora resolvemos la nueva ecuación de segundo grado

(m^2+2m-3

(m+3)(m-1)

Ahora ya tenemos las raíces y podemos armar la solución general de la ecuación

m_1=1 m_2=-3 m_3=1

y=〖c_1 e〗^x+〖c_2 e〗^(-3x)+〖c_3 xe〗^x

d. y^''-y=2

Esta es una ecuación lineal no homogénea con coeficientes indeterminados

m^2-1=0

(m+1)(m-1)=0

m_1=-1 m_2=1

y_h=〖c_1 e〗^(-x)+〖c_2 e〗^x

Ahora para hallar y_p usamos el método del anulador

D(D^2-1)y=2D=0

Resolvemos la nueva ecuación homogénea.

m(m^2-1)=0

Ahora ya tenemos la nueva raíz aparte de las 2 halladas anterior mente

m_1=0 m_2=-1 m_3=1

y=c_(1e^0 )+〖c_2 e〗^(-x)+〖c_3 e〗^x=c_1+〖c_2 e〗^(-x)+〖c_3 e〗^x

y=c_1+〖c_2 e〗^(-x)+〖c_3 e〗^x

y_p=A

〖y'〗_p=0

〖y''〗_p=0

Ahora remplazamos estos valores en la ecuación original

0-A=2

A=-2

y_p=-2

y=-2+〖c_1 e〗^(-x)+〖c_2 e〗^x

Demostrar que (a) y (b) son linealmente independientes y que son solución de la siguiente ecuación diferencial.

(a)=〖sen〗^3 x

(b)=1/(〖sen〗^2 x)

y^''+tan⁡〖xy^'-6(〖cot〗^2 x)y=0〗

Primero para saber si son linealmente independientes aplicamos el wronskiano.

w(a,b)=[■(〖sen〗^3 x&1/(〖sen〗^2 x)@〖3sen〗^2 xcosx&-2cosx/(〖sen〗^3 x))]=-5cosx

-(2〖sen〗^3 xcosx)/(〖sen〗^3 x)-(〖3sen〗^2 xcosx)/(〖sen〗^2 x)

(-(2〖sen〗^3 xcosx)(〖sen〗^2 x)-(〖sen〗^3 x)(〖3sen〗^2 xcosx))/(〖sen〗^3 x)(〖sen〗^2 x)

(-(2〖sen〗^3 xcosx)(〖sen〗^2 x))/(〖sen〗^3 x)(〖sen〗^2

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