Teoría de las guías de onda

Teoría de las guías de onda

El método matemático que se utiliza para analizar una determinada línea o ducto de transmisión depende fundamentalmente del tamaño eléctrico del espacio por el cual se propagan las ondas electromagnéticas. Todo es cuestión de escala.

Si el espacio es pequeño comparado con la longitud de onda característica,λ_0 , entonces se aplican teorías de circuitos de corriente alterna y la teoría general de líneas de transmisión.

Cuando dicho espacio tiene dimensiones del mismo orden que el tamaño de la longitud de onda característica, ocurren efectos de propagación de la onda que pueden ser descritos resolviendo las ecuaciones de Maxwell y empleando campos electromagnéticos, en lugar de corrientes y voltajes.

En cambio, si el espacio (por ejemplo, el aire o “el espacio libre”) por el que una electromagnética viaja es grande comparada con la longitud de onda característica, es válido describir el comportamiento de propagación, en forma muy aproximada, por medio de una onda electromagnética plana.

Mientras mayor sea el espacio de propagación en términos eléctricos, mejor será la aproximación usando onda plana.

A continuación se presenta una tabla para el análisis.

Los efectos de propagación en las guías de ondas cuyas dimensiones transversales son comparables a λ_0 en este trabajo. Se verán las guías rectangulares, que es una de las de mayor uso en los sistemas prácticos de microondas terrestres y comunicaciones por satélite.

La onda electromagnética plana

Por definición, una onda TEM es aquella cuyos campos E y H son perpendiculares entre sí, y ambos a la vez son perpendiculares a la dirección de propagación, misma que se designara como la dirección a lo largo del eje z. Si además de lo anterior, la magnitud y la fase de cada campo son iguales en todos los puntos del plana cualquiera, para el cual z es constante, entonces la onda es plana. Es decir, en un plano z=constante perpendicular a la dirección en que viaja la onda, los campos E y H son independientes de las coordenadas xyz; en planos paralelos con valor de z diferentes, los campos aumentaran o disminuirán de valor, de acuerdo con la periodicidad de la onda, pero seguirán siendo iguales en todos los puntos de cada nuevo plano en cuestión. Ambos campos, E y H, están en fase, pues alcanzan sus valores máximos al mismo tiempo.

En las gráficas anteriores se puede observar lo descrito anteriormente.

La onda plana en un medio sin pérdidas

Para encontrar la expresión matemática de una onda plana, es necesario resolver las ecuaciones de Maxwell las cuales se presentaran a continuación:

Se tiene que considerar que el medio de propagación es el “espacio libre”, con conductividad igual a cero y sin fuentes de radiación presentes (cargas y corrientes). Las fuentes (p y J de la fuente) si existen, pero están en algún lugar lejano del espacio en el que ahora viaja la onda y donde quiere encontrarse su solución matemática. Por tanto, J_f vale cero y p, la densidad de carga, también vale cero. Además, como la conductividad σ del espacio libre se considera igual a cero, y dado que J_conduccion= σE, el producto da cero, y entonces toda la densidad de corriente J es igual a cero.

Por consiguiente, las ecuaciones de Maxwell para encontrar la solución de propagación en el espacio libre, se reducen a:

Antes de resolver las ecuaciones, conviene introducir la herramienta auxiliar de los fasores para los campos. Para esto, se supone que los campos eléctricos y magnéticos tienen una dependencia senoidal con relación al tiempo, a una frecuencia angular ω = 2πf, es decir:

En donde la magnitud de E_0 y la fase θ son funciones del vector de posición r. Ahora, si se definen los fasores de E y H como funciones de r, de manera siguiente:

Igualmente se puedes escribir como

En términos generales, E tiene componentes en los 3 ejes y en H de igualmente tiene componentes en los 3 ejes (eje X, Y, Z). Para el casa de la onda plana en cuestión:

Ya que los campos no dependen ni de x ni de y (son constantes en el plano z=constante), y la onda es TEM y totalmente transversal al eje z. De manera que, al sustituir al rotacional del vector por sus tres componentes cartesianas en las ecuaciones anteriores, estas se convierten en el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas con derivadas parciales:

Ahora con la ecuación de segundo orden:

Cuyas soluciones son

En donde A y B son constantes; β=ω√(µε) y se denomina la constante de fase.

Con n=√(µ/ε) , denominada como la impedancia de la onda.

Por lo que se observa que ósea que la magnitud del campo eléctrico (en V/m y orientado en la dirección x) es n veces mayor que la magnitud del campo magnético (en A/m y orientado perpendicularmente, en la dirección y).

En general, el campo E puede estar orientado de tal forma que consista en sus dos componentes X y Y, pero para efectos de análisis en muchos problemas prácticos, es fácil elegir un sistema de coordenadas de referencia de tal forma que el vector E total este alineado en la dirección x y el H total en la dirección y. Siendo así el caso, E_y y H_x no existen, y la solución completa queda representada por las ecuaciones anteriores considerando que la onda electromagnéticas viaje en la dirección positiva de z.

Si se fija ahora la atención sobre cualquier punto arbitrario de la onda, con el fin de calcular a que velocidad se tendría que desplazar un observador a lo largo de su eje z para ver ese punto con la misma fase; es decir:

Y derivando la relación anterior con relación a tiempo:

O sea que, la velocidad a la que la onda viaja a lo largo del eje z es igual a la ω/β y recibe el nombre de velocidad de fase.

Si el medio de propagación es el vacío o el aire, dicha velocidad es igual a e igual a c, la velocidad de la luz.

La onda plana en un medio con pérdidas

Cuando el medio de propagación es disipativo, es decir que σ ≠ 0, entonces la densidad de corriente de conducción Jc no se cancela y el la expresión para el rotacional de H empleando fasores queda el modo

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