Teorem de Sharkovskii.

El Teorema de Sharkovski

Introducción

El Teorema de Sharkovski también se conoce como Teorema de Sharkovsky. Depende de qué artículos lea. El matemático que es conocido por el teorema se llama Alexandr Nicolaevich Sharkovski o Oleksandr Mikolaiovich Sharkovsky. Algunos artículos podrían incluso deletrear su nombre de otra manera. En lo que sigue llamaré el teorema El Teorema de Sharkovski y lo llamaré Alexandr Nicolaevich Sharkovski.

Hoy en día el teorema es uno de los resultados clásicos en la teoría de los sistemas dinámicos y es conocido por muchos matemáticos especializados en otras áreas [Ciesielski et al, 2008].

Alexandr Nicolaevich Sharkovski, Biografía

Alexandr Nicolaevich Sharkovski nació el 7 de diciembre de 1936, en Kiev, Ucrania. Se graduó de la Universidad local de Kiev en 1958, donde también enseñó desde 1967. Es hoy un destacado matemático y miembro de la Academia Nacional de Ciencias de Ucrania.

La principal área de interés de Sharkovski es la teoría de los sistemas dinámicos, la teoría de la estabilidad y la teoría de las oscilaciones. También trabaja con la teoría de las ecuaciones diferenciales funcionales y funcionales, y el estudio de las ecuaciones de las diferencias y su aplicación.

Historia

En 1964 un artículo escrito por Alexandr Nicolaevich Sharkovsky apareció en el diario matemático ucraniano. El título del artículo fue Coexistencia de ciclos de un continuo trazado de una línea en sí mismo y tenía 11 páginas. Ya había presentado el trabajo en 1962, cuando tenía sólo 25 años. El propósito del ensayo era probar el siguiente teorema: Si k ◄ l, y si un mapeo continuo de los reales en los reales tiene un punto con un período fundamental k , Entonces también tiene un punto con el período fundamental l; "◄" designa una orden definida por Sharkovskyi la ordenación de Sharkovski [Ciesielski et al, 2008]. Este teorema fue más tarde conocido como el Teorema de Sharkovski.

En 1962 ya había publicado algunos resultados que pueden considerarse como una introducción al teorema.

La obra de Sharkovski no se conoció fuera de Europa Oriental hasta la segunda mitad de los años setenta. Las razones por las que el papel y su trabajo pasaron desapercibidos podrían ser varias. En primer lugar se escribió en ruso y se publicó en una revista matemática soviética. Otra razón podría ser que el tema no estaba de moda en el momento [Ciesielski et al, 2008].

En 1975 American Mathematical Monthly publicó un famoso artículo con el título Período tres implica el caos de Tien-Yien Li y James A. Yorke. Resultó una parte especial del resultado de Sharkovski, además de introducir la idea del caos. Debido al periódico, asistieron a una conferencia en Berlín Oriental donde conocieron a Sharkovski. Aunque no tenían lenguaje en común, la reunión llevó al reconocimiento global de la obra de Sharkovski.

Otro artículo que llamó la atención de muchos matemáticos sobre el trabajo de Sharkovski: Un teorema de Sharkovski sobre la existencia de órbitas periódicas de endomorfismos continuos de la línea real publicados por el matemático eslovaco Peter Stefan [Ciesielski et al, 2008].

Como muchos documentos y conferencias dedicadas a las iteraciones, el caos y los fenómenos relacionados aparecieron a finales de los años 70, muchas personas comenzaron a trabajar en el teorema de Sharkovski. Uno de los objetivos iniciales era simplificar su prueba; Aparecieron muchas pruebas nuevas y más cortas. Todos ellos se basaron en gran parte en el teorema intermedio [Ciesielski et al, 2008]. Alrededor de 1980, se publicaron al menos 3 pruebas del teorema, todas bastante similares. Estos constituyen la moderna "prueba estándar", debido a Bloque, Guckenheimer, Misiurewicz y Young, Burkart, Ho y Morris.

Hoy El teorema de Sharkovski es un término matemático estándar y Sharkovski es uno de los pocos matemáticos vivos cuyos nombres están ligados de manera similar a uno u otro de sus resultados.

El Teorema

El teorema de Sharkovski implica un ordenamiento de los números naturales positivos, N, que se conoce como ordenamiento de Sharkovski.

Antes de presentar el pedido de Sharkovski, nos preguntamos qué es un pedido. Estamos acostumbrados al pedido 1 <2 <3 <4 <........., pero esta no es la única manera en que podemos ordenar los números naturales. Una ordenación es una lista de los números, que tiene que satisfacer unas pocas condiciones. Para un par de números (a, b) en la lista, sólo uno de los siguientes es verdadero; 'A está antes de b', 'a es igual a b' o 'b está delante de a'. Si 'a está antes de b' y 'b está antes de c' entonces 'a está antes de c'.

El orden siguiente de los números enteros positivos se conoce como la orden de Sharkovski:

3, 5, 7, 9, ..., 2 ∙ 3, 2 ∙ 5, 2 ∙ 7, ..., 22 ∙ 3, 22 ∙ 5, 22 ∙ 7, ..., 24, 23, 22, 21, 20 = 1. (*)

Escribimos l ► m o m ◄ l si l está a la derecha de m.

La lista comienza con los números impares en orden creciente comenzando por 3. La secuencia se repite con cada número impar multiplicado por 2. Entonces la secuencia inicial se multiplica por 22 = 4, luego 23 = 8, entonces 24 = 16 y así sucesivamente . Al final ponemos las potencias de dos en orden decreciente.

Cuando usted mira la lista usted puede ser que se pregunte para qué este ordenar está para? Pero este ordenamiento es un componente indispensable del Teorema de Sharkovski. Sharkovski demostró que este ordenamiento describe los números que pueden ser los menos períodos para un mapa / función continuos.

Supongamos que f: R → R es una función continua. Decimos que el número x es un punto periódico del período m si fm (x) = x, "fm" denota la iteración de nuestro mapeo / función; F2 (x) = f (f (x)), f4 (x) = f (f (f2 (x))). En otras palabras, podemos decir que un punto es periódico si regresa a su posición inicial después de un número definido de iteraciones. Específicamente, si un punto periódico x después de iteraciones m vuelve a su posición inicial, entonces fm + 1 (x) = f (x) [Ciesielski et al, 2008]. Además decimos que el número x tiene un período mínimo m si fk (x) ≠ x para todo 0

Debe ser obvio que si m es un período de un número o de un punto entonces así es cualquier múltiplo de m.

Si un número tiene un período 1, entonces este número o punto se llama punto fijo.

Además de los puntos periódicos también tenemos una clase de puntos no periódicos. Estos puntos nunca vuelven a su posición inicial: fn (x) ≠ x, para todo n  N.

Vamos a dar algunos ejemplos:

• Considere la función g (x) = x. Todos los puntos de la función g son puntos fijos.

• Considere la función h (x) = 2x. ¿Esta función tiene puntos fijos o puntos con el período 2, 3 y 4? ... Aquí 0 es un punto fijo, ya que h (0) = 2 ∙ 0 = 0 y no hay otros puntos periódicos, todos los demás puntos no son periódicos.

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