Teorem Del Resto

TEOREMA DEL RESTO

El Teorema del resto permite encontrar el residuo de una división de Polinomios sin ejecutarla, solo evaluando el polinomio en el valor de la variable establecido por el divisor. La complejidad de un ejercicio estará en la cantidad de términos que tenga el polinomio dividendo y el tipo de coeficientes que este tenga, es decir, los coeficientes pueden ser enteros, irracionales, racionales, complejos.

Lo importante es entender el proceso de aplicar el Teorema del Resto, el cual consiste en sustituir la variable por el valor establecido por el divisor y luego realizar las operaciones básicas que indique el polinomio, el resultado será el resto.

En álgebra el teorema del resto afirma que el resto r, que resulta al dividir un polinomio p(x), entre x-a, es igual a p(a) ,

Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que

p(x)=q(x)c(x) + r(x),

Donde p(x), es el dividendo, q(x), el divisor, c(x), el cociente y r(x), el resto y verificándose además, que el grado de r(x), es menor que el grado de q(x),

En efecto, si tomamos el divisor q(x) = x-a, entonces r(x), tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar r, y la fórmula anterior se convierte en:

p(x)=(x-a)c(x) + r,

Tomando el valor x=a, se obtiene que:

p(a)=r

El teorema del resto es un método por el cual podemos obtener el residuo de una división algebraica pero en el cual no es necesario efectuar división alguna. Nos permite de esta forma averiguar el resto de la división de un polinomio p(x) entre otro de la forma x-a por ejemplo. Se deduce de este teorema que un polinomio p(x) es divisible entre x-a sólo si a es una raíz del polinomio, únicamente si y sólo si p(a) =0.

Si C(x) es el cociente y R(x) es el resto de la división de un polinomio cualquiera p(x) entre un binomio que sería (x-a), aplicamos el algoritmo de la división:

P(x) = C(x) • (x – a) + R(x)

Entonces el valor numérico de p(x), para x=a, será igual al resto de su división entre x-a. Entonces diremos que:

P(a) = C(a) • (a – a) + R(a) = R(a)

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