Topologia Euclidiana

Topología euclidiana

En matemática, y especialmente en topología general, la topología euclidiana o topología euclídea es un ejemplo de topología dado por el conjunto de los números reales, denotados mediante R. Dado el conjunto R una topología significa decir que los subconjuntos de R son «abiertos», y hacerlo de tal manera que los siguientes axiomas se cumplan:1

La unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

La intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

El conjunto R y el conjunto vacío ∅ son conjuntos abiertos.

Construcción[editar · editar código]

Se requiere que el conjunto R y el conjunto vacío ∅ sean conjuntos abiertos, así que se definirá R y ∅ como conjuntos abiertos en esta topología. Dados dos números reales, por ejemplo x e y, con x < y se difine una familia incontable infinita de conjuntos abiertos denotados mediante Sx,y como sigue:1

S_{x,y} = \{ r \in \bold{R} : x < r < y \} .

Junto con el conjunto R y el conjunto vacío ∅, los conjuntos Sx,y con x < y son usados como base para la topología euclidiana. En otras palabras, los conjuntos abiertos de la topología euclidiana son dados por el conjunto R, el conjunto vacío ∅ y las uniones e intersecciones finitas de varios conjuntos Sx,y para los diferentes pares (x,y).

Propiedades[editar · editar código]

La línea real, con su topología, es un espacio T5. Dados dos subconjuntos, digamos A y B, de R con A ∩ B = A ∩ B = ∅, donde A denota la clausura de A, etc., existen conjuntos abiertos SA y SB con A ⊆ SA y B ⊆ SB tales que SA ∩ SB = ∅.1

Referencias[editar · editar código]

↑ Saltar a: a b c Steen, L. A.; Seebach, J. A. (1995), Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 048668735X

Weisstein, Eric W. «Euclidean Topology» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

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