Trabajo final Transformaciones lineales
Enviado por F M • 21 de Febrero de 2016 • Resumen • 1.269 Palabras (6 Páginas) • 318 Visitas
Trabajo final
Transformaciones lineales
Definición y ejemplos de transformaciones
Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ∈ V un vector único Tv ∈ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar a,
T(u + v) = Tu + Tv y T(av) = aTv
Se escribe T: V W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.
Ejemplo. Sea T: R3 R2 definida por T(x, y, z)=(x+y, y-z), ¿es T una transformación lineal?
u=(ux, uy, uz)
v=(vx, vy, vz)
T(u+v)=T(u)+T(v)
(ux+vx+uy+vy, uy+vy-(uz+vz))=(ux+uy, uy-uz)+(vx+vy, vy-vz)
(ux+vx+uy+vy, uy+vy-uz-vz)=(ux+uy+vx+vy, uy-uz+vy-vz)
T(av)=aT(v)
T(avx, avy, avz)=aT(vx, vy, vz)
(avx+avy, avy-avz)=a(vx+vy, vy-vz)
(avx+avy, avy-avz)=(avx+avy, avy-avz)
Representación matricial
Sea T: V → W una transformación lineal, donde V y W son espacios vectoriales. Sean e1 = (1, 0, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, 0, …, 0), e3 = (0, 0, 1 , 0, …, 0) , …, en = (0, 0, 0, …, 0, 1). Suponga que {e1, e2, e3, …, en} es una base de V. Ahora, sea T(e1) = w1, T(e2) = w2, T(e3) = w3, …, T(en) = wn. Llamamos a MT la matriz cuyas columnas son w1, w2, w3, … , wn. Entonces a la matriz MT se le llama la representación matricial de T.
Ejemplo. Sea T: R3 R2 definida por T(x, y, z)=(x+y, y-z), encontrar MT.
M_T [■(x@y@z)]=[■(x+y@y-z)]
Base R^3={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
M_T=(T[■(1@0@0)],T[■(0@1@0)],T[■(0@0@1)])=([■(1@0)],[■(1@1)],[■(0@-1)])
M_T=[■(1&1&0@0&1&-1)]
Operaciones con transformaciones lineales y aplicaciones
Definición de núcleo e imagen (Teoría de la Dimensión)
A una transformación lineal f : V → W podemos asociarle un subespacio de V , llamado su núcleo, que de alguna manera mide el tamaño de la pre-imagen por f de un elemento de su imagen.
Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V → W una transformación lineal. Se llama núcleo de f al conjunto Nu(f) = {v ∈ V / f(v) = 0} = f-1({0}).
Otro conjunto importante asociado a una transformación lineal es su imagen. Si f : V → W, su imagen se define como Im(f) = {w ∈ W / ∃ v ∈ V, f(v) = w}. La imagen de una transformación lineal f : V → W resulta ser un subespacio de W
El siguiente resultado relaciona las dimensiones del núcleo y de la imagen de una transformación lineal con la de su dominio.
Sean V y W dos K-espacios vectoriales, V de dimensión finita, y sea f : V → W una transformación lineal. Entonces dim V = dim(Nu(f)) + dim(Im(f)).
Cambio de base
En un espacio vectorial V, dadas dos bases B y B’, se llama matriz de cambio de base (o de cambio de coordenadas) de B a B’ a la matriz que contiene en sus columnas las coordenadas de los vectores de la base B expresados en función de la base B’.
Su utilidad es la siguiente: Conocidas las coordenadas de un vector en base B, nos permitirá hallar las coordenadas de dicho vector en base B’.
En efecto, sean (a1, a2, . . . an) las coordenadas de un vector en base B, y sea P la matriz de cambio de base de B a B’. Entonces:
Valores y vectores propios
Valores y Vectores propios: Definiciones y propiedades.
Sea A una matriz cuadrada, un número real λ se dice que es un valor propio o un eigenvalor
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