Transformación Lineal

Transformación Lineal

Así como cuando se estudian las funciones reales interesan especialmente las funciones continuas, cuando se estudian funciones de un espacio vectorial en otro interesan aquellas que poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las que conservan operaciones. Es decir, que la función sea tal que "conserve" las dos operaciones fundamentales que definen la estructura de espacio vectorial.

En síntesis, podemos dar la siguiente definición:

Una función T: V ® W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W)

se dice una transformación lineal si, para todo a, b Î V,

k Î K (K es el cuerpo de escalares) se tiene:

T (a + b) = T (a) + T (b)

T (k a) = k T (a)

que se puede resumir en T (a a + b b) = a T (a) + b T (b), llamada propiedad de linealidad.

Si T: V ® W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se llama codominio de T.

Ejemplos

Ejemplo 1. A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguiente transformación:

T: R2 ® R3 / " x Î R2 : T ((x1, x2)) = (x1 + x2, x1 - x2, x2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿ " x, y Î R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x = (x1, x2)

y = (y1, y2)

x + y = (x1 + y1, x2 + y2)

T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2, x2 + y2) =

= (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 + y2, y1 - y2, y2) = T (x) + T (y)

b) ¿ " x Î R2, " k Î R : T (k x) = k T (x) ?

T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k x2, k x1 - k x2, k x2) =

= k (x1 + x2, x1 - x2, x2) =

= k T (x)

Se verifican las dos condiciones de la definición, entonces la transformación es lineal.

Ejemplo 2.

Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: R2 ® R2 / " x Î R2 : T ((x1, x2)) = (x2, x1 + 2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿ " x, y Î R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x = (x1, x2)

y = (y1, y2)

x + y = (x1 + y1, x2 + y2)

T (x) + T (y) = (x2, x1 + 2) + (y2, y1 + 2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 4)

T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 2) ¹ T (x) + T (y)

No se verifica esta condición, entonces la transformación no es lineal.

Matriz asociada a una transformación lineal

Si V y W tienen dimensión finita y uno tiene elegidas

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