Interpolacion Lineal

III) INTERPOLACIÓN

INTRODUCCIÓN

En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenó-meno en situaciones que no hemos medido directamente.

La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que co-nocemos los valores en los extremos.

La extrapolación consiste en hallar un dato fuera del intervalo conocido, pero debe tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es muy fiable el resultado obtenido.

1. Planteamiento general

El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una fun-ción de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:

(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)

y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.

El de la extrapolación cuando el punto que queremos considerar está a la derecha de xn o a la izquierda de xo.

Se desea, por tanto encontrar una función cuya gráfica pase por esos puntos y que nos sirva para estimar los valores deseados.

El tratamiento para ambos problemas es similar se utilizarán los polinomios “in-terpoladores”, pero en el caso de la extrapolación el punto debe estar muy próximo a uno de los extremos.

2. Interpolación. Elección de la interpolación más adecuada.

Consideremos una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:

(xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn) [1]

Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder estudiarla en otros puntos.

Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas nos quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones más sencillas es la de los polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de menor grado que pase por los n+1 puntos dados.

La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos [1] es en principio de grado n: y= anxn+............+a1x+ao

Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas (sis-tema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los coeficientes es de Vandermonde y por lo tanto distinto de cero)

Se le llama polinomio interpolador correspondiente a esos puntos. Una vez ob-tenida su expresión dando valores en él se pueden encontrar nuevos puntos de la fun-ción. Los resultados obtenidos son naturalmente estimaciones aproximadas.

La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando se tomen tres.

En este tema nos limitaremos a estos dos tipos de interpolación.

Ejemplo 1. De una función conocemos tres puntos (-3, 5), (1, -1) y (3, 11). ¿qué podemos decir de esa función cuando x=0 y cuando x=10?

Solución

Calculamos el polinomio interpolador que será de 2º grado

y= ax2 + bx +c, que pase por los tres puntos ,

Se verifica:

5=a(-3)2+b(-3)+c por pasar por el punto (-3, 5)

-1=a+b+c por pasar por el punto (1, -1)

11=a.32+b.3+c por pasar por el punto (3, 11)

Resolviendo el sistema que se nos plantea nos queda:

y= P(x)=

Cuando x=0, P(0)=-13/4; si x=10, P(10)=527/4

El primero, una interpolación, es probablemente una buena aproximación del valor de la función desconocida, en el punto 0.

Sin embargo, el valor 527/4 es probable que se parezca poco al valor de la función en el punto 10, pues es el resultado de una extrapolación muy lejana.

No se pueden dar reglas generales para decidir cuál es la interpolación más adecuada, pues no siempre al aumentar el grado del polinomio aumenta la precisión en la estimación.

Depende siempre del caso concreto a estudiar. A veces la naturaleza del problema nos da una idea de cuál es la interpolación (o extrapolación) más conveniente. Por ejemplo si los incrementos de la función son proporcionales a los de la variable independiente (o casi proporcionales) podremos usar la interpolación lineal.

Ejercicio 1. Se conoce la población de cierto municipio, para el 31 de diciembre en los años que se indican:

años 1950 1960 1970 1980 1990

Población 827 1058 1304 1582 1836

Efectuar una representación gráfica y observar cuál sería en este caso la interpolación más conveniente.

Ejercicio 2. Un investigador ha observado que la vida media de una bacteria varía con la temperatura media en la siguiente forma

Temperatura 6º 9º 12º 15º 16º

Vida media 104,2 140,4 181,7 220,2 257,6

Se pide:

a) Efectuar una representación gráfica, tomando en abscisas las temperatura s y en ordenadas la vida media.

b) Calcular las variaciones de la función “vida media” al variar la temperatura.

c) ¿Los resultados anteriores indican que la vida media varía linealmente con la temperatura?

d) En caso afirmativo, mediante interpolación lineal, obtener

...