UCE Programacion II, Matrices, Sistemas de Ecuaciones, Resolución

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR[pic 1]

FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS, FÍSICAS Y MATEMÁTICA

CARRERA DE INGENIERIA CIVIL

PROGRAMACION II 

INFORME DE INVESTIGACIÓN

1. Resumen

Una matriz es todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Las matrices se utilizan tanto en la representación y manipulación de datos como, en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos utilizados, para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenierías, economía, física, estadística y las diferentes ramas de la matemática. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Abstract

A matrix is all set of numbers or expressions arranged in rows and columns. The matrices are use in the representation and manipulation of data as in the numerical and symbolic calculation derived from the mathematical models used to solve problems in different disciplines, for example social sciences, engineering, economics, physics, statistics and the different branches of mathematics. They can be add, multiply and decompose in several ways that also makes a very important concept in the field of linear algebra.

1. Introducción

MATRICES

Definición: Se llama matriz de orden  a todo conjunto rectangular de elementos  dispuestos en  líneas horizontales (filas) y  verticales (columnas).[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

Abreviadamente suele expresarse en la forma , con; . Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila  y el segundo la columna .[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

Parte matemática de una matriz

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SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES

La suma de dos matrices ,  de la misma dimensión, es otra matriz  de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico .[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

La suma de las matrices  y  se denota por .[pic 16][pic 17][pic 18]

La diferencia de las matrices  y  se representa por , y se define como:
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Por lo tanto, para sumar o restar dos matrices, éstas han de tener la misma dimensión.

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Parte matemática de la suma de matrices

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Parte matemática de la diferencia de matrices

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Propiedades:

1. [pic 28]
2. [pic 29]
3. [pic 30]

[pic 31][pic 32]

MULTIPLICACIÓN

Dadas dos matrices  y , su producto es otra matriz  cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de  por las columnas de . De manera más formal, los elementos de  son de la forma:[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

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Es evidente que el número de columnas de  debe de coincidir con el número de filas de . Es más, si  tiene dimensión  y  dimensión , la matriz  será de orden . Es decir:[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

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Parte matemática de la multiplicación de matrices

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[pic 50] [pic 51]

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Propiedades:

1. [pic 53]
2. [pic 54]

[pic 55][pic 56]

[pic 57][pic 58]

MATRIZ TRANSPUESTA

Se llama matriz traspuesta de una matriz A de dimensión , a la matriz que se obtiene al cambiar en A las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por  y su dimensión es .[pic 59][pic 60][pic 61]

Parte matemática de la matriz transpuesta

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Propiedades:

1. [pic 64]
2. [pic 65]
3. [pic 66]
4. [pic 67]

MATRIZ INVERSA

Existe un método alternativo para el cálculo de la matriz inversa al método de Gauss. Éste es mucho menos intuitivo, y puede ser mucho más largo pero de todas formas siempre puede recurrirse a él por ser más directo. Recordemos que dada una matriz A, su inversa  es tal que cumple lo siguiente:[pic 68]

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Donde I es la matriz identidad, con todos sus elementos nulos excepto los 1 en la diagonal principal. La matriz inversa puede calcularse como:

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