UNIDAD IV: LA DERIVADA

Semana 9.- Del 09 al 13 de marzo del 2018                Apuntes

UNIDAD IV: LA DERIVADA

La pendiente de la recta tangente a la curva en un punto (xo,f(xo)).

Considere lo siguiente:

[pic 1]

Figura f1

[pic 2]

P=(xo,f(xo))

Q=(xo+h,f(xo+h))

f(xo)=y0

 [pic 3]

y-yo=msec (x-xo) ECUACIÓN DE LA RECTA SECANTE

figura 2

[pic 4]

& como [pic 5]

mt= =[pic 6][pic 7]

Lim (f(xo+h)-f(xo))/h

y-yo=mt[x-xo] ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (xo,yo)[pic 8]

EJEMPLO:

Dada las funciones calculé la pendiente de la recta tangente a la curva de lo que pide:

1.  Si f(x)=x^2 & (xo, yo)=(1,1)

[pic 9]

mt=[pic 10]

 [pic 11]

y-yo=mt[x-xo]

y-1=2[x-1]

y=2x-2+1

y=2x-1

1.  Si g(x)=√x en el punto (9,f(9))

[pic 12]

mt=[pic 13]

 [pic 14]

y-yo=mt[x-xo]

y-3=1/6 [x-9]

6y-18=x-9

6y=x+9  o  y=1/6 x+ 3/2

        L2

                                                                 L

             m1m2=-1

[pic 15]                                                               

mN=-1/mt

Definición (recta normal):

La ecuación de la recta normal a la gráfica de la función f que pasa por uno de los puntos de esta, es la recta perpendicular a la recta tangente en ese mismo punto.

Podemos calcular su pendiente aprovechando que ya sabemos calcular la pendiente de la recta tangente de la curva en el punto:

mtmN=-1

mN=-1/mt Pendiente de la recta normal a la curva en el punto.

y-yo=-1/mt[x-xo]. Ecuación de la recta normal a la curva en el punto(xo,yo)

Definición ( derivada de una función):

La derivada de una función f se denota: f'(x) o d/dx f(x) o y' o su/dx si y=f(x) & se define:

f'(x)= [pic 16]

∀x donde esté límite exista

Ejemplo:use la definición de la derivada para calcular f'(x)

1.  si f(x)=k

f'(x)=[pic 17]

===0[pic 18][pic 19][pic 20]

1. si f(x)=x

f'(x)=[pic 21]

===1[pic 22][pic 23][pic 24]

1.  si f(x)=x²

f'(x)=[pic 25]

===2x[pic 26][pic 27][pic 28]

Observación: Si xo+h=x -> h=x-xo

Si h->0 entonces x-> xo

 &   ==f'(xo)[pic 29][pic 30]

Por ejemplo:

Si f(x)=x² calculé f'(xo)

f'(xo)====2xo[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

DEFINICIÓN:

Una función es diferenciable o derivable en el punto x si existe su derivada en x.

TEOREMA:

Si f es diferenciable en xo entonces f es continua en xo.

Comprobación:

Como f es diferenciable en xo entonces tenemos:

  existe & [pic 35]

===[pic 36][pic 37][pic 38]

 [pic 39]

= [pic 40]

=f'(xo)*(0)+f(xo)=f(xo)  por lo tanto f(x es continua en xo)

Ejemplo:

Si f(x)=|x|

[pic 41]

Xo=0

1. 0∈dom(f)
2. Existe [pic 42]

 [pic 43]

 [pic 44]

1. [pic 45]

f´(0)=[pic 46]

=[pic 47]

 [pic 48]

 [pic 49]

REGLAS DE DERIVADAS:

Regla 1.-  Si f(x)=k entonces: [pic 50]

Regla 2.- Si f(x)=x entonces [pic 51]

Regla 3.- Si u=u(x) &  v=v(x) entonces u+v es diferenciable &

[pic 52]

Solución:

Si f(x) =u(x) +v(x)

& f'(x)====[pic 53][pic 54][pic 55][pic 56]

=+[pic 57][pic 58]

[pic 59]

Regla 4.- (regla de la cadena)

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