Una matriz

Definiciones y notaciones [editar]

Una matriz es una arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con n filas y m columnas se le denomina matriz n-por-m (escrito ) donde . El conjunto de las matrices de tamaño se representa como , donde es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y las mismas entradas.

A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila ésima y la columna ésima se le llama entrada o entrada -ésimo de la matriz. En estas expresiones también se consideran primero las filas y después las columnas.

Casi siempre se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar las entradas de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz de tamaño que se encuentra en la fila ésima y la columna ésima se le denota como , donde y . Cuando se va a representar explícitamente una entrada la cuál está indexada con un o un con dos cifras se introduce una coma entre el índice de filas y de columnas. Así por ejemplo, la entrada que está en la primera fila y la segunda columna de la matriz de tamaño se representa como mientras que la entrada que está en la fila número 23 y la columna 100 se representa como .

Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemáticos. Así es una matriz, mientras que es un escalar en esa notación. Sin embargo ésta notación generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer ésta distinción tipográfica con facilidad. En otras notaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.

Otra notación, en si un abuso de notación, representa a la matriz por sus entradas, i.e. o incluso .

Otra definición, muy usada en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, es la de vectores fila y vectores columna. Un vector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño .

A las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas, , se les llama matrices cuadradas y el conjunto se denota o alternativamente .

Ejemplo [editar]

Dada la matriz

es una matriz de tamaño . La entrada es 7.

La matriz

es una matriz de tamaño : un vector fila con 9 entradas.

Operaciones básicas [editar]

Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones en álgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son únicas.

Suma o adición [editar]

Sean . Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria tal que y donde en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada es igual a la suma de los elementos y lo cual es .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea

No es necesario que las matrices sean cuadradas:

A la luz de éstos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de matrices en el caso de que las entradas estén en un campo serán la asociatividad, la conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Ésto es así ya que éstas son propiedades de los campos en los que están las entradas de la matriz. A continuación se presentan las propiedades.

Propiedades [editar]

Sean , donde es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria

Asociatividad

Demostración. Dada la definición de la operación binaria se sigue el resultado ya que debido a que para todo .

Conmutatividad

Demostración Dada la definición de la operación binaria se sigue el resultado ya que debido a que para todo .

Existencia del elemento neutro aditivo

Existe tal que

Demostración Tómese tal que para cualquier (dónde este último es el elemento neutro aditivo en el campo, el cual existe necesariamente). Entonces para cualquier se sigue que ya que para cualquier , dado que las entradas están en un campo.

Existencia del inverso aditivo

Existe tal que

a esta matriz se le denota por .

Demostración Dada tómese tal que . Entonces ; luego, por las propiedades de campo donde es el inverso aditivo de en el campo para cualquier .

En efecto, éstas propiedades dependen el conjunto en el que estén las entradas, como se ha dicho antes, aunque en las aplicaciones generalmente los campos usados son (los números reales) y (los números complejos).

Por como se definió la operación binaria adición se dice que ésta operación es una operación interna por lo que se cumple intrinsecamente la propiedad de que es cerrado bajo adición. Con éstas propiedades se tiene que es un grupo abeliano.

En el caso en que el conjunto al que pertenecen las entradas de la matriz sea un anillo , la operación de adición de matrices continúa dotando de estructura de grupo abeliano a , ya que bajo un anillo se tiene que es un grupo abeliano. En el caso de que las entradas estén en un grupo , éste necesita ser un grupo abeliano para que la adición de matrices siga dotando de estructura de grupo abeliano a .

Producto por un escalar [editar]

Sean y . Se define la operación de producto por un escalar como una función tal que y donde en donde el producto es la operación binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada es igual al producto .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea y

También es inmediato observar que el producto por un escalar da como resultado una matriz del mismo tamaño que la original. También el producto por un escalar dependerá de la estructura algebraica en la que las entradas están. En el caso de que estén en un campo serán dos distributividades (una respecto de suma de matrices y otra respecto de suma en el campo), asociatividad y una propiedad concerniente al producto por el elemento neutro multiplicativo del campo. A continuación se presentan las propiedades.

Propiedades [editar]

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