Unida 3 Calculo Vectorial

3.1 Definición de Funciones Vectoriales de Variables Reales

Las funciones vectoriales, también conocidas con el nombre de funciones valoradas vectoriales, son funciones matemáticas cuyo dominio es un conjunto de números reales y su rango es un conjunto infinito de vectores dimensionales. La notación convencional para tal función es,

De la ecuación anterior está claro que el rango de tal función es R3 o Rm. La interpretación de esta oración sería que la función está asociada con tres o más funciones de variables reales f1, f2,f3 … fm. Por tanto, se puede escribir de tal manera que,

Una función vectorial puede tomar como valor de entrada tanto cantidades escalares como cantidades vectoriales, pero el resultado siempre será una cantidad vectorial. Como podemos ver aquí el rango de dicha función está infinitamente extendido, pero no afecta el rango del dominio de la función de alguna manera. Dado que el rango de la función es infinito, por tanto puede ser dividido sus componentes constitutivos. Por ejemplo, si el rango es de dos dimensiones entonces el rango se puede dividir en sus componentes como,

Y si el rango es de tres dimensiones, entonces puede ser dividida en sus componentes como,

Un punto digno de mención es que el dominio de la función vectorial es la intersección de los dominios de todas las funciones constituyentes que en su totalidad forman el rango de la función vectorial.

Después de haber leído la definición de una función valorada vectorial, es importante saber, ¿por qué surgió la necesidad de desarrollar funciones vectoriales cuando ya teníamos otras funciones con nosotros? Una función vectorial representa principalmente una función que varía con respecto al tiempo.

Tomemos el ejemplo de una abeja. La trayectoria que esta traza mientras vuela puede ser descrita en términos de variables de x e y en un espacio tridimensional, pero esta no nosproveería ninguna información con respecto al tiempo de vuelo. En otras palabras, tal función solo nos daría información sobre el camino recorrido por la abeja.

Así que imaginemos que la abeja comenzó su vuelo en la posición r1. Por tanto el vector de posición que describe la posición de inicio de la abeja puede ser representado como,

Ahora, después de un tiempo esta abeja se detiene en la posición r2 sobre el plano x-y. En consecuencia, podemos utilizar otro vector para representar la posición final de la abeja como,

Entonces, el camino recorrido por esta abeja sería una serie de vectores que comienzan en r1 y terminan en r2. Estos vectores son los vectores de posición, que representan sólo la punta de la flecha del vector en el diagrama anterior. Y a medida que pasa el tiempo, los vectores cambian de r1 a r2.

Aquí los vectoresr1 y r2 son iguales, de hecho el vector r1cambia con el tiempo para tomar la posición de r2. Es por esto que una función vectorial puede ser escrita como,

Es decir, todos los componentes de la presente función son funciones del tiempo, dado que varían con el tiempo

3.2 Graficación de curvas en función del parámetro t

El sistema de coordenadas polares no es muy diferente de un sistema de coordenadas Cartesianas. Mientras en un sistema de coordenadas Cartesianas tenemos una cuadrilla rectangular de rectas verticales y horizontales que representan los ejes x e y respectivamente, en un sistema de coordenadas polarestenemos un polo en el centro el cual es equivalente al origen en el sistema de coordenadas Cartesianas, y tenemos muchos círculos concéntricos que tienen su origen en el polo y algunas rectas que pasan por el polo formando ángulos diferentes en el mismo.

La longitud de estas rectasforma la coordenada radial del sistema, es decir, ‘r’ y el ángulo en el cual subtienden con respecto al eje x forma las coordenadas polares del sistema, esto es, t, el cual está en radianes. Por lo tanto, el sistema de coordenadas polares está representado por un par de coordenadas tales como (r, t).

Una curva polar sólo puede ser graficada en un sistema de coordenadas polares para alcanzar precisión. Trazar una curva polar es muy parecido a trazar una curva Cartesiana. Es necesario tomar en cuenta dos técnicas mientras grafica una curva polar, la primera, y bastante frecuente, es el trazado de los puntos y, la segunda, comprobar la simetría de la curva.

La mayor parte de las curvas polares son simétricas en los cuadrantes opuestos y por tanto, pueden graficarse completamente solo por simetría. El trazado del punto se realiza de forma similar al del sistema de coordenadas Cartesianas. En un sistema de coordenadas Cartesianas, se calcula sencillamente la salida de la curva para diferentes valores de x, y en un sistema de coordenadas polares calculamos la salida de la curva para diferentes valores de t. La salida son los diferentes valores de r.

Existen algunas pruebas que pueden realizarse con el fin de comprobar la simetría de la curva:

1. Calcule la salida de la curva para un valor opuesto de t, el cualya esté trazado.Si el valor resulta ser equivalente a la salida del valor real de t, entonces la curva es simétrica respecto al eje polar.

2. Sustituya t con un valor opuesto a ella y, r con un valor opuesto al mismo. Si el resultado es una ecuación equivalente como la anterior, la curva dada es simétrica con respecto a t = / 2.

3. Sustituya a r con un valor opuesto al mismo. Si el resultado es una ecuación equivalente igual a la anterior, la curva dada es simétrica alrededor del polo.

Existen varias curvas que son estudiadas fundamentalmente bajo este sistema. Algunas de estas son loscardioides, los caracoles de Pascal, la Rosa polar, la espiral equiangular etc.

Tracemos ahora una curva a partir la ecuación r = 3 cos (2t)

Primeramente, debemos tratar de analizar la ecuación. Las curvas polares tienen un patrón fijo y mediante el análisis de la ecuación dada, puede identificarse el tipo de curva. La ecuación anterior es una Rosa polar.

Las Rosas polares también pueden tener un número par o impar de pétalos.Con el fin de determinar el número de pétalos que contiene el gráfico, necesitamos calcular a n. Si n es un par entero, entonces la curva tendrá 2.n número de pétalos, de lo contrario contendrá un número n de pétalos. En el ejemplo anterior tenemos que n = 2 por lo tanto, la curva también tendrá2.n número de pétalos, es decir, 4.

El próximo paso es calcular la función para los diferentes valores de t.

Finalmente dibuje los puntos trazados en un sistema de coordenadas polar como,

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