Utilización de los métodos numéricos-canal trapezoidal

Problema a resolver:

Por un canal trapezoidal fluye agua a una tasa de Q=20 m3/s. La profundidad para este canal satisface la ecuación:

[pic 1]

Donde g=9,81m/s2 , Ac=área de la sección transversal (m2), y B= ancho del canal en la superficie (m). El ancho y el área de la sección transversal se relacionan por la profundidad ypor medio de:

B=3+y      Ac=3y+y^2/2

Se debe encontrar la profundidad crítica según los valores de Q brindados.

Análisis del problema y elección del método

Reemplazando los valores correspondientes a g,Q; y las equivalencias correspondientes de Ac, y B; resulta:

[pic 2]

Realizando un grafico de la función resultante se obtiene:

[pic 3]

A modo de razonamientoanalítico, se debe buscar los valores de y para los cuales la ecuación se cumple, es decir que valores de profundidad hacen cero la función; que en el cálculo se consideran las raíces de esta. A nivel gráfico por otra parte,si se realiza una ampliación, se puede observar  a simple vista de manera poco precisa los lugares por donde la función atraviesa el eje x, que si bien no asigna ningún valor certero, permite obtener una idea aproximada de las raíces de la función.

[pic 4]

[pic 5]

La primera raíz no se considerará ya que para este caso el valor resultante de profundidad sería negativo, lo cual no se condice con un resultado real. Por otra parte se deberá encontrar la raíz comprendida  entre 0,3 y 0,4.

No obstante, si bien el problema proporciona un valor definido de Q, se buscará generalizar para poder extender el problema a un rango de valores.

Por ejemplo, para un caudal de 10 cm3/s resulta.[pic 6]

[pic 7]

Es importante observar que la función se vuelve asintótica en cero, lo cual es importante considerar a la hora de elegir los puntos de partida. Luego de realizar un análisis de los métodos correspondientes, se optó por los abiertos, por el hecho de presentar resultados más precisos y alcanzar los mismos en una menor cantidad de iteraciones. Además el ejemplo permitió observar la presencia de una sola raíz, lo cual posibilita descartar los métodos utilizados para raíces múltiples.

Quedarían entonces 3 opciones:

1. Método de la secante
2. Iteración de punto fijo
3. Método de Newton Raphson

Este último método quedará descartado por el hecho de que el cálculo de la derivada resultaría tedioso y complicado.

En una segunda instancia se propone el método del punto fijo.

El método de iteración de punto fijo se realiza al arreglar la ecuación f(x) = 0, despejando del lado izquierdo cualquiera de las y de la función. Se requiere de un solo valor inicial.

X i+1 = g (xi)

Despejando, resulta:

[pic 8]

Siendo:

F1(x)=y

[pic 9]

F2(x)=

Ambas ecuaciones se grafican por separado y la raíz de f (x) = 0 corresponde al valor de la abscisa en la intersección de las curvas. La convergencia se dará si la magnitud de la pendiente de f2 es menor que la pendiente de la recta f1.  El caso contrario diverge.

[pic 10]

Se grafican ambas funciones utilizando Graphmatica, y se observa que la pendiente de la recta f2 (en blanco), es mayor que la de la recta f1(en rojo), por lo cual, este método diverge. Para corroborar esto se realiza el análisis en Calc del método, que corrobora lo predicho en el gráfico.

[pic 11]

Un método que resulta útil entonces, es el de la secante. Este método utiliza el mismo modo de cálculo queque el de Newton Raphson, pero permite ahorrar el cálculo de la derivada. Si bien este método requiere dos valores iniciales, no necesita que f(x) cambie de signo, por lo cual no se clasifica como un método cerrado.

[pic 12](fórmula del método de la secante)

Es fundamental que los valores iniciales que se tomen, siempre sean cercanos a la raíz, ya que se evita que el método diverja. Otra consideración importante a tener en cuenta es que si bien requiere de dos valores iniciales, estos no deben encerrar  la raíz por ser un método abierto, aunque el valor resultante fuese el correcto, el método no estaría bien realizado .Por lo cual deben encontrarse ambos datos de un mismo lado.

Ahora se determinaran el rango de valores de caudal, para los cuales se utilizará el programa.

DESARROLLO

• Para un caudal Q=10m3/s resulta:

[pic 13]

[pic 14]

Estos valores iniciales pueden mantenerse hasta un valor de Q=16m3/s; manteniendo un error aproximado menor al fijado.

Para valores de caudal fijados entre 17m3/s y 30m3/s; los valores iniciales son 1,2 y 1,3.

• Para un caudal de 17m3/s:[pic 15]

[pic 16]

• Para un caudal de 30m3/s:

[pic 17]

[pic 18]

Para un caudal comprendido entre 31m3/s y 48m3/s; los valores iniciales  correspondientes son 1,8 y 1,9.

• Para un caudal de 31m3/s:

[pic 19]

[pic 20]

• Para 48m3/s[pic 21][pic 22]

Finalmente para valores comprendidos entre 49m3/s y 75m3/s; los valores iniciales son 2,4 y 2,5

• Para un caudal de 49 m3/s[pic 23]

[pic 24]

• Para 75m3/s

[pic 25][pic 26]

Algo para destacar es que se buscó ampliar el rango de valores iniciales para más valores de caudal. No obstante si bien el resultado se alcanzaba en muchos casos, los datos iniciales terminaban encerrando al valor de la raíz provocando un uso incorrecto del método.

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