Vectores en R2 y R3

Vectores en R2 y R3

Anteriormente vimos que un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. La palabra “vectores” se refiere a los elementos de cualquier Rn. En R1 = R el vector es un punto, que llamamos escalar. En R2 el vector es de la forma (x1, x2) y en R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3).

En R2:

la suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R2, entonces a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).

el producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R2 , entonces αa = α(a1, a2) = (α a1, α a2).

Veamos el significado geométrico de la suma de vectores y el producto escalar en R2.

Observa que si a = (a1, a2) y b = (b1, b2), entonces la suma de los vectores

a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2). El cual se obtiene trasladando la representación de los vectores a y b. De manera, que se puede obtener a + b dibujando un paralelogramo. A esta regla de suma se le llama la regla del paralelogramo.

Para el producto escalar αa, se puede observa que si α > 0 se alarga o se acorta el vector a por un factor α. Si α < 0 se invierte la dirección del vector a.

En R3:

la suma de vectores se define por: sean a, b Є R3, entonces a + b = (a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3).

el producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R3 , entonces αa = α(a1, a2, a3) = (α a1, α a2, αa3).

Definición: Sean a y b vectores en Rn, tal que a = (a1, a2, a3, …, an) y b = (b1, b2, b3, …, bn). El producto interno de a y b representado por a ∙ b ó <a, b>, es el escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando luego los productos resultantes, esto es:

a ∙ b = <a ∙ b> = (a1 • b1 + a2 • b2 + a3 • b3 + … + an • bn).

Los vectores a y b se llaman ortogonales si su producto interno es igual a cero.

Ejemplo (para discusión): Halla el producto interno de:

a = (1, 1) y b = (1, -1) en R2

a = (3, 5) y b = ( 6, 10) en R2

a = (2, -3, 6) y b = ( 8, 2, -3) en R3

a = (1, -2, -3) y b = (2, -5, 4) en R3

Definición: Sea a = (a1, a2, a3, …, an) un vector en Rn, la norma (magnitud o longitud) del vector , representada de la forma │a│ ó ║a ║, se define como la raíz cuadrada no negativa de a ∙ a = <a, a>. Esto es:

Ejemplos (para discusión): Calcula la norma de:

a = (2, 2) en R2

a = (1, 3, -2) en R3

j0290516Notas:

El vector cero tiene magnitud cero. Como el punto inicial y el punto terminal coinciden, se dice que el vector no tiene dirección.

Como la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, se dice que: ║a + b║ ≤ ║a║ + ║b║.

Ejemplo para discusión: Sean a = (1, 5) y b = (3, 1). Compara ║a + b║ y ║a║ + ║b║.

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