Vibracion

2.4.2 Vibración libre con amortiguamiento viscoso.

En nuestras consideraciones sobre las vibraciones de un solo grado de libertad

y con amortiguamiento viscoso, encontramos que la energía era disipada por el

amortiguador y la amplitud disminuía con el tiempo. Sin embargo, si

proporcionamos una fuente de energía externa podemos mantener las

oscilaciones con una amplitud constante. Para determinar las ecuaciones que la

gobiernan a este movimiento consideremos un sistema masa, resorte y

amortiguador sometido a una fuerza periódica externa P =P0senΩ, tal como se

muestra en la figura 2.14.

(a) (b)

Figura 2.14. (a) Sistema mecánico forzado, (b) Diagrama de cuerpo libre.

Aplicando al DCL la segunda ley de Newton, se obtiene.

P sen t kx cx mx

Fx max

    

 

0 

mx  cx  kx  P sent 0

 

(2.59)*

La ecuación diferencial (2.59)* es una ecuación diferencial lineal, de segundo

orden, no homogénea y con coeficientes constantes. Su solución se obtiene

sumando una solución complementaria y una solución particular. La solución

complementaria satisface a la ecuación homogénea y la solución particular es

una función cualquiera que satisface la ecuación diferencial. Por lo tanto, la

solución total se escribe

x(t) x (t) x (t)  C  P

(2.60)

La solución particular estudiada anteriormente, se extingue rápidamente según

el valor del coeficiente de amortiguamiento. Por el contrario la solución

particular o permanente o de estado estacionaria es la que se mantiene, siendo

esta de carácter armónico y viene expresada por.

Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García

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x  x sent  P m

(2.61)

Remplazando la ecuación (61) en la ecuación (60) resulta.

m x sen t  c x  t  kx sen t  P sen t  m     m    m    0 

2  cos  

Haciendo (Ωt-φ) sucesivamente igual a cero y π/2, resulta

cxm

 P0

sen

(2.62)

  0

cos

2

k  m xm

 P

(2.63)

Elevando al cuadrado ambos miembros de las dos ecuaciones anteriores,

resulta y sumándolos, resulta

   

2

0

2 2

2 2

k m c xm

 P







    

(2.64)

De la ecuación (64), se obtiene la amplitud la misma que está dada por

   

2

2 2

0

   



k m c

...