Álgebra de Boole

Álgebra de Boole

Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y Si (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

Contenido [ocultar]

1 Historia

2 Definición

2.1 Como retículo

3 Operaciones

3.1 Operación suma

3.2 Operación producto

3.3 Operación negación

3.4 Operaciones combinadas

4 Leyes fundamentales

4.1 Principio de dualidad

5 Otras formas de notación del álgebra de Boole

6 Álgebra de Boole aplicada a la informática

6.1 El 0 lógico

6.2 El 1 lógico

7 Jerarquía de los operadores

8 Circuitos combinacionales

9 Véase también

10 Enlaces externos

11 Referencias

12 Bibliografía

[editar]Historia

Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The Mathematical Analysis of Logic1 , publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y Sir William Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. Más tarde como un libro más importante: The Laws of Thought2 , publicado en 1854.

En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta logica se puede aplicar a dos campos:

Al análisis, porque es una forma concreta de describir como funcionan los circuitos.

Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función.

[editar]Definición

Una álgebra de Boole es una tripleta . Donde , y son operaciones binarias y también operaciones internas en y además para cualquier se cumplen los siguientes axiomas:

1. Propiedad conmutativa:

2. Propiedad asociativa:

3. Propiedad distributiva:

4. Propiedad de los neutros. Existen tales que:

5. Se cumple la propiedad: tal que:

0 1 1

1 0 1

0 1 0

1 0 0

Algunos autores al definir un Algebra de Boole, prescinden del axioma o Ley Asociativa porque consideran que es una propiedad demostrable a partir de los restantes axiomas y propiedades ya demostradas. Por ejemplo, puede demostrarse la propiedad o Ley Asociativa a partir de los restantes axiomas y de la propiedad o Ley e Absorción.3

[editar]Como retículo

Como retículo presenta las siguientes propiedades,las leyes principales son estas:

1. Ley de Idempotencia:

2. Ley de Asociatividad:

3. Ley de Conmutatividad:

4. Ley de Cancelativo

5. Ley de Absorción

[editar]Operaciones

Hemos definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales:

[editar]Operación suma

a b a + b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.

Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.

[editar]Operación producto

a b a b

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

La operación producto () asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores

solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.

[editar]Operación negación

a

0 1

1 0

La operación negación presenta el opuesto del valor de a:

Un interruptor inverso equivale a esta operación:

[editar]Operaciones combinadas

a b

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 1 0 1

Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más complejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo:

Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso.

La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad.

[editar]Leyes fundamentales

El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.

1. Ley de idempotencia:

2. Ley de complemento:

3. Ley conmutativa:

4. Ley asociativa:

5. Ley distributiva:

Distributiva por la izquierda:

Distributiva por la derecha:

6. Ley de cancelación:

7. Ley de identidad:

8 Ley de dominación:

9. Leyes de De Morgan:

[editar]Principio de dualidad

El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0.

Además hay que cambiar

...