Área, superficie

Área, superficie.

El área (abreviado con el símbolo a) es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas Unidades de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Paralelogramos.

Es un tipo especial de cuadrilátero (un polígono formado por cuatro lados) cuyos lados son paralelos dos a dos.

Clasificación:

 Paralelogramos rectángulos, son aquellos cuyos ángulos internos son todos ángulos rectos. En esta clasificación se incluyen:

 El cuadrado, que tiene todos sus lados de igual longitud.

 El rectángulo, que tiene sus lados opuestos de igual longitud.

 Paralelogramos no rectángulos, son aquellos que tienen dos ángulos internos agudos y dos ángulos internos obtusos. En esta clasificación se incluyen:

 El rombo, que tiene todos sus lados de igual longitud, y dos pares de ángulos iguales.

 El romboide, que tiene los lados opuestos de igual longitud y dos pares de ángulos iguales.

Propiedades:

 Todo paralelogramo tiene cuatro vértices y cuatro lados (es un subconjunto de los cuadriláteros).

 Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos (por definición), por lo cual nunca se intersecan.

 Los lados opuestos de un paralelogramo son de igual longitud, (congruentes).

 Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales en medida.

 Los ángulos de dos vértices contiguos cuales quiera son suplementarios (suman 180 °).

 La suma de los ángulos interiores de todo paralelogramo es siempre igual a 360 °.

 El área de un paralelogramo es el doble del área de un triángulo creado por cualquiera de sus diagonales.

 El área de un paralelogramo es igual a la magnitud del producto vectorial1 de dos lados contiguos.

 Todos los paralelogramos son convexos.

 Cualquier recta secante coplanar corta al paralelogramo en dos y solo dos de sus lados.

 Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.

 El llamado «centro» del paralelogramo se encuentra en el punto en que se bisecan sus dos diagonales.

 El «centro» del paralelogramo es también el baricentro del mismo.

 Cualquier recta coplanar que pase por el «centro» de un paralelogramo divide a su área en dos partes iguales.

 Cualquier recta coplanar que pase por el «baricentro» de un paralelogramo es también «transversal de gravedad» del mismo.

 Cualquier transformación afín no degenerada transforma un paralelogramo en otro paralelogramo.

 Existe un número infinito de transformaciones afines que transforman a un paralelogramo dado en un cuadrado.

Cuadrado.

Es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y además sus cuatro ángulos son iguales y rectos.

Propiedades:

Es el polígono que tiene sus lados opuestos paralelos y, por tanto, es un paralelogramo. Dado que sus cuatro ángulos internos son rectos, es también un caso especial de rectángulo, es un rectángulo equilátero. De modo similar, al tener los cuatro lados iguales, es un caso especial de rombo, es un rombo equiángulo. Cada ángulo interno de un cuadrado mide 90 grados ó radianes, y la suma de todos ellos es 360° ó radianes. Cada ángulo externo del cuadrado mide 270° ó radianes.

Trazado con reglas y compas:

Para trazar un cuadrado de diagonales d centrado en el punto O:

1. Marque el punto O donde quiera el centro del cuadrado.

2. Trace una línea horizontal que pase por dicho punto O.

3. Haciendo centro en el punto O trace una circunferencia de un diámetro d cualquiera, esto genera dos puntos de intersección con la recta horizontal del paso 2.

4. Sin variar la apertura del compás y haciendo ahora centro en alguna de las dos intersecciones del paso 3, trace un arco hasta cortar en dos puntos la circunferencia inicial.

5. Uniendo los dos puntos hallados en el paso 4 con una línea recta (vertical), dicha recta generará un nuevo punto de intersección sobre la recta horizontal inicial.

6. Haga centro con el compás en el punto hallado en el paso 5 y abra el mismo hasta el punto central O y trace una semicircunferencia que intercepte en dos puntos a la línea vertical del paso 5.

7. Trace una línea recta que pase por uno de los puntos del paso 6 y por el punto central O, extendiéndola hacia ambos lados hasta intersecar a la circunferencia inicial de paso 3, esto genera sobre la misma dos puntos que son vértices opuestos del cuadrado y también extremos de una de las diagonales.

8. Repitiendo el paso anterior pero ahora con el otro punto del paso 6 y el punto central O, se obtendrá los dos puntos que son vértices opuestos del cuadrado y también extremos de la segunda diagonal.

9. Luego uniendo de modo cíclico con líneas rectas los cuatro puntos vértice hallados en los dos pasos anteriores, se habrá obtenido finalmente el cuadrado buscado.

Área del cuadrado

El área del cuadrado es igual a lado por lado.

A=L.L

Ejercicio

Calcular el área de un cuadrado de 5 cm de lado.

A = 52 = 25 cm2

Rombo.

Es un cuadrilátero paralelogramo cuyos cuatro lados son de igual longitud.

Los ángulos interiores opuestos son iguales.

Sus diagonales son perpendiculares entre si y cada una divide a la otra en partes iguales (esta característica por sí sola también define al rombo).

Si un rombo es a la vez un rectángulo, entonces es un cuadrado. Un rombo con un ángulo interno de 45° suele llamarse losange.

Propiedades:

 Las diagonales son bisectrices de los ángulos internos.

 El punto de intersección I de las diagonales es el incentro del rombo.

 Las diagonales del rombo son perpendiculares entre sí, y satisfacen la relación:

 Las dos altura de un rombo tienen la misma longitud que el diámetro de su circunferencia circunscripta. Si se observan los puntos de contacto de dicha circunferencia sobre dos lados opuestos cualesquiera de rombo se notará que los dos diámetros que unen a dichos puntos son cada uno de ellos paralelo a la respectiva altura y tienen medida exactamente igual a las mismas. Diámetro y alturas son la medida de

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