Axonomias de igualdad y propiedades de campo

Axiomas de Igualdad

Dados a, b y c elementos de los Reales, las Propiedades de la Igualdad se definen:

Ejemplos:

Identifica la propiedad de la igualdad que justifica cada expresión:

1)  x = a y 5 = 5 entonces x + 5 = a + 5

                                                        Aditiva

2)  a + 3 = x  y  a = 2, entonces 2 + 3 = x

                                                        Sustitución

3)  2 = b y b = x, entonces 2 = x

                                                        Transitiva

Ejercicios:

Identifica la propiedad de la igualdad que justifica cada expresión.

1. Si x = 3 entonces 3 = x         
2. Si 15/17 = a y a = b entonces 15/17 = b          
3. Si √2 pertenece a los Reales, entonces √2 = √2          
4. Si x = z y x + 3 = 16, entonces z + 3 = 16          
5. Si x = w y (x + 3) 2 = x + 5, entonces (w + 3) 2 = w + 5          
6. Si x = r y r = 3, entonces x = 3          
7. Si [ (x + w) + z ] = 2x y 2x = 4, entonces [ (x + w) + z ] = 4          
8. Si x = m y x = 3, entonces m = 3          
9. Si x =√3 y p = z entonces x + p = √3 + z          
10. Si x = a y z = 6, entonces xz = 6a         
11. Si x = 5 y 5 = b, entonces x + 5 = 5 + b          
12. Si x + t = z y z = 6, entonces x + t = 6          
13. Si x + 12 = h, entonces h = x + 12          
14. Si x + 7 = j + 6 y z = 2, entonces (x + 7) z = (j + 6) 2          
15. Si 6 = 2 + x y 6 = z, entonces z = 2 + x          
16. Si y = 7/x – x y x = 2, entonces y = 7/2 – 2          

Propiedades de los Números Reales

Propiedad de Cerradura

Se dice que una operación es “CERRADA” dentro de un conjunto si, al tomar cualesquiera dos elementos del conjunto, el resultado se encuentra siempre dentro del mismo.

Ejemplos:

1. La Operación SUMA es CERRADA dentro del conjunto de los Números Reales, ya que su resultado siempre es un número Real. En otras palabras:

                   Si: a,b ∈ R entonces: a+b ∈ R

1. La Operación SUMA es CERRADA dentro del conjunto de los Enteros No-Negativos, ya que el resultado de sumar cualesquiera dos de sus elementos siempre es un número No-Negativo. En otras palabras:

3)        La Operación RESTA es NO CERRADA dentro del conjunto de los Naturales, ya que existen pares de elementos dentro del conjunto que al restarlos, su resultado no pertenece al mismo conjunto. Por ejemplo:[pic 1]

4 – (8) = - 4

[pic 2]

En este caso,  la pareja de números 4, 8 sirve para encontrar un caso en el que no se cumple la Cerradura de la Resta en el conjunto de los Naturales. A este tipo de parejas se les llama Contraejemplos.

1. La operación RESTA es CERRADA dentro del conjunto de los Reales, ya que el resultado de sumar cualesquiera dos elementos del conjunto su resultado es un número Real. En otras palabras:

                   Si: a,b ∈ R entonces: a-b ∈ R

Ejemplo 1: Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. Indica si este conjunto es Cerrado bajo la operación Suma. De no ser así, escribe al menos dos contraejemplos.

Solución: El Conjunto A es no cerrado bajo la suma, ya que existen pares de elementos cuyo resultado al sumarlos no están contenidos en el conjunto:

[pic 3]

Ejercicios:

I. Determina qué Operaciones son CERRADAS dentro de cada uno de los siguientes conjuntos; en caso de no serlo, escribe al menos, dos contraejemplos.

II. Dados los siguientes conjuntos, determina si son cerrados o no sobre la suma, resta, multiplicación y división. De no ser así, escribe al menos dos contraejemplos.

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