Cadenas De Markov

TEORIA Y EJEMPLOS

CADENAS DE MARKOV

Una cadena de markov consta de unos estados E1 E2 E3 E4…..En. que inicialmente en un tiempo 0 o paso 0 se le llama estado inicial, además de esto consta de una matriz de transición que significa la posibilidad de que se cambie de estado en un próximo tiempo o paso.

MATRIZ DE TRANSICIÓN:

Una matriz de transición para una cadena de Markov de n estado es una matriz de n X n con todos los registros no negativos y con la propiedad adicional de que la suma de los registros de cada columna (o fila) es 1.

Por ejemplo: las siguientes son matrices de transición.

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UNA MATRIZ DE TRANSICIÓN:

Es el arreglo numérico donde se condensa las probabilidades de un estado a otro. A través de una grafica de matriz de transición se puede observar el comportamiento estacionario representado por una cadena de Markov tal que los estados representan la categoría en que se encuentre clasificado. Como se aprecia a continuación:

PROPIEDADES:

1- la suma de las probabilidades de los estados debe ser igual a 1.

2- la matriz de transición debe ser cuadrada.

3- las probabilidades de transición deben estar entre 0 y 1

La mejor manera de entender que es una cadena de markov es desarrollando un ejemplo sencillo de estas mismas como el siguiente.

Ej. 1.

En un país como Colombia existen 3 operadores principales de telefonía móvil como lo son tigo, Comcel y movistar (estados).

Los porcentajes actuales que tiene cada operador en el mercado actual son para tigo 0.4 para Comcel 0.25 y para movistar 0.35. (estado inicial)

Se tiene la siguiente información un usuario actualmente de tigo tiene una probabilidad de permanecer en tigo de 0.60, de pasar a Comcel 0.2 y de pasarse a movistar de 0.2; si en la actualidad el usuario es cliente de Comcel tiene una probabilidad de mantenerse en Comcel del 0.5 de que esta persona se cambie a tigo 0.3 y que se pase a movistar de 0.2; si el usuario es cliente en la actualidad de movistar la probabilidad que permanezca en movistar es de 0.4 de que se cambie a tigo de 0.3 y a Comcel de 0.3.

Partiendo de esta información podemos elaborar la matriz de transición.

La suma de las probabilidades de cada estado en este caso operador deben ser iguales a 1

Po= (0.4 0.25 0.35) → estado inicial

También se puede mostrar la transición por un método grafico

Ahora procedemos a encontrar los estados en los siguientes pasos o tiempos, esto se realiza multiplicando la matriz de transición por el estado inicial y asi sucesivamente pero multiplicando por el estado inmediatamente anterior.

Como podemos ver la variación en el periodo 4 al 5 es muy mínima casi insignificante

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