Desigualdades

Tiempo mínimo de recorrido.

Un vehículo debe trasladarse desde el punto A hasta el punto B de la figura.

El punto A dista 36 km de una carretera rectilínea. Sobre la carretera el vehículo puede desarrollar una velocidad de 100 km/h, mientras que sobre el terreno puede desarrollar una velocidad de 80km/h.

a) Se desea saber cuál es el recorrido que debe realizar el conductor para que el tiempo empleado en ir desde A hasta B sea mínimo

b) Calcula ese tiempo

SOLUCIÓN

a) El vehículo tiene distintas posibilidades para ir desde A hasta B. Podría , por ejemplo, ir directamente de A a B, podría efectuar el recorrido AMB o eventualmente uno como el ANB. Trataremos de determinar cuál de todos los recorridos posibles corresponde a tiempo mínimo de acuerdo a las velocidades dadas.

Llamemos: velocidad en el terreno , velocidad en la carretera, distancia distancia

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo AMN tendremos √ .

El tiempo empleado por el vehículo en los tramos AN y BN serán respectivamente, recordando que el movimiento es rectilíneo uniforme: √

La expresión analítica del tiempo total t en función de la distancia x será entonces : ( ) √

Estudiemos la función en el intervalo [0,100]. ( )

(Corresponde al trayecto AMB)

( ) √

(corresponde el trayecto AB)

PUNTOS CRÍTICOS

Obtener la deriva de la siguiente función: ( ) √

Aplicando las propiedades de linealidad

Como en la función vamos a derivar con respecto de x solo derivaremos donde se encuentra.

( ) (√ ) ( ) ( ) [ ( ( ) ⁄ ( ) ) √ ( ) ] [( ) ( ) ( ) ]

Derivar ( ) [ ( ( ) ⁄ ) √ ] [( ) ( )] ( ) [ ( ( ) ⁄ ) ] [ ( )] ( ) [ ( ( ) ⁄ )] [ ( )]

Simplificar ( ) √ ( ) √

Despejar a x

Despejar x:

Elevando ambos miembros al cuadrado tenemos

√

√

√

√ √

( ) ( √ )

Factor común

( )

Despejar a x:

√ √

El valor negativo de x lo desechamos dado que solo estamos considerando el intervalo [0,100]

Para los valores dados tendremos : √

El valor funcional correspondiente el punto crítico encontrado es : t(48) ( ) √

( ) √ √

Dado que el punto crítico encontrado en el intervalo es único, de la comparación del valor funcional en él con los valores funcionales en los extremos del intervalo, que habíamos calculado, concluimos que aquel corresponde al mínimo absoluto de la función.

En definitiva entonces, el tiempo recorrido en mínimo cuando recorre el trayecto ANB siendo N el punto distante 48km del punto M

b) El tiempo del recorrido será :

...