El Trompo

femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero o cero.

Se llama potencia a una expresión de la forma a^n, donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente.

Exponente entero

Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando, siendo a un número cualquiera:

(1)\begin{array}{ll}

a^1 = & a \\

a^2 = & a \times a \\

\vdots & \vdots \\

a^n = & \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n \text{ veces}},

\end{array}

Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:

a^n \cdot a^m = a^{n+m}

Ejemplos:

9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes

{(a^m)}^n = a^{m \cdot n}

Debido a esto, la notación a^{b^c} se reserva para significar a^{(b^c)} ya que {(a^b)}^c se puede escribir sencillamente como a^{bc}\,.

Potencia de un producto[editar • editar código]

La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir (a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n

Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:

(-a)^n =\;\;\;\;\; a^n si n es par.

(-a)^n = -( a^n) si n es impar.

Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c•a = 1 o que c=\frac{1}{a}, entonces este se denota por a^{-1}, y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:

(2)\begin{array}{l}a^{-1} = \frac{1}{a} \\

a^{-n} = \frac{1}{a^n}\end{array}

Observación

a^{-n} = ( a^{-1} )^n = \underbrace{ \frac{1}{a} \times \cdots \times \frac{1}{a}}_n = \frac{1}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} = \frac{1}{a^n}.

División de potencias de igual base

El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo

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