Formulación original de Schrödinger-De Broglie

Formulación original de Schrödinger-De Broglie[editar]

En 1923 De Broglie propuso la llamada hipótesis de De Broglie por la que a cualquier partícula podía asignársele un paquete de ondas materiales o superposición de ondas de frecuencia y longitud de onda asociada con el momento lineal y la energía:

\mathbf{p} = \frac{h}{\lambda} = \hbar \mathbf{k} \qquad E_k = h\nu = \hbar \omega

donde \mathbf{p},\ E_k son el momento lineal y la energía cinética de la partícula, y \mathbf{k},\omega son el vector número de onda y la frecuencia angular. Cuando se consideran partículas macroscópicas muy localizadas el paquete de ondas se restringe casi por completo a la región del espacio ocupada por la partícula y, en ese caso, la velocidad de movimiento de la partícula no coincide con la velocidad de fase de la onda sino con la velocidad de grupo del paquete:

v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{\partial E_k}{\partial p} = \frac{\partial E_k(p)}{\partial p} = \frac{p}{m}

donde E_k(p) = P^2/2m. Si en lugar de las expresiones clásicas del momento lineal y la energía se usan las expresiones relativistas, lo cual da una descripción más precisa para partículas rápidas, un cálculo algo más largo, basado en la velocidad de grupo, lleva a la misma conclusión.

La fórmula de De Broglie encontró confirmación experimental en 1927 un experimento que probó que la ley de Bragg, inicialmente formulada para rayos X y radiación de alta frecuencia, era también válida para electrones lentos si se usaba como longitud de onda la longitud postulada por De Broglie. Esos hechos llevaron a los físicos a tratar de formular una ecuación de ondas cuántica que en el límite clásico macroscópico se redujera a las ecuaciones de movimiento clásicas o leyes de Newton. Dicha ecuación ondulatoria había sido formulada por Erwin Schrödinger en 1925 y es la celebrada Ecuación de Schrödinger:

-{\hbar^2\over 2m} \nabla^2 \psi (\mathbf{x},t) + V(\mathbf{x})\psi (\mathbf{x},t) = i \hbar {\partial \psi (\mathbf{x},t)\over\partial t}

donde \psi(\mathbf{x},t)\, se interpretó originalmente como un campo físico o campo de materia que por razones históricas se llamó función de onda y fue el precedente histórico del moderno concepto de función de onda.

El concepto actual de función de onda es causa de debate en la Física actual, sobre todo en lo que respecta la realidad objetiva e intrínseca de dicha función de onda. Matemáticamente, la implicación de el cuadrado de la función de onda es la amplitud de la probabilidad de presencia de materia. Esta interpretación, introducida por Max Born, le valió la concesión del premio Nobel de física en 1954.

Formulación moderna de Von Neumann[editar]

Los vectores en un espacio vectorial se expresan generalmente con respecto a una base (un conjunto concreto de vectores que "expanden" el espacio, a partir de los cuales se puede construir cualquier vector en ese espacio mediante una combinación lineal). Si esta base se indexa con un conjunto discreto (finito, contable), la representación vectorial es una "columna" de números. Cuando un vector de estado mecanocuántico se representa frente a una base continua, se llama función de ondas.

Formalización[editar]

La formalización rigurosa de la función de onda requiere considerar espacios de Hilbert equipados, donde puedan construirse bases más generales. Así para

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