Matematica 2

INDICE

Contenido Pag.

Introducción 2

Integrales impropias con límite superior infinito 3

Integrales impropias con ambos límites infinito 4

Integrales impropias con discontinuidad en el límite inferior 6

Integrales impropias con discontinuidad en el límite superior 7

Algunas integrales con límite infinito. Integral p y exponencial 9

Ejemplos y ejercicios resueltos 10

Ejercicios Propuestos 13

Algunas integrales con integrando discontinuo 14

Ejercicios Propuestos 15

Criterios de convergencia: de comparación 16

Criterio del cociente 18

Teoremas 19

Criterio de convergencia absoluta 21

Función gamma 25

Función beta 28

Ejercicios propuestos 30

Bibliografía 32

INTRODUCCIÓN

Existen dos condiciones que garantizan la existencia de la integral definida. La función que es parte del integrando sea continua y que el intervalo de integración sea cerrado. Cuando alguna de estas condiciones no se cumplen, se extiende la definición de integral definida para considerar límites de integración infinitos y/o discontinuidades de la función sobre el intervalo de integración; a estas integrales se les llama impropias.

La presente separata presenta un enfoque de las integrales impropias de modo que al finalizar su estudio los estudiantes de ingeniería de la Universidad Nacional del Santa estarán en condiciones de analizar la convergencia y evaluar una integral impropia cualquiera.

Se presentan un marco teórico de cada subtema, seguido de algunos ejemplos resueltos, empezando con los más fáciles hasta los de mayor dificultad y se han escogido listas de ejercicios y problemas propuestos para propiciar la transferencia.

La separata contiene la definición de integrales impropias con límites infinito e integrales impropias con discontinuidad infinita en algún punto del intervalo de integración, los criterios de convergencia en cada caso , las funciones beta y gamma y sus aplicaciones.

Se agradece a todas las personas que de una u otra forma han contribuido para hacer realidad la presente publicación. Cualquier sugerencia será recibida con gratitud y servirá para mejorar futuras ediciones de la presente separata en beneficio de los estudiantes.

Rosa N. Llanos Vargas

INTEGRALES IMPROPIAS ( I . I )

La definición de integral definida exige que la función integrando sea continua y definida sobre un intervalo cerrado [ a , b ] : Cuando uno o ambos extremos del intervalo de definición de la función no son finitos o cuando la función presenta un número finito de puntos de discontinuidad inevitable sobre el intervalo

[ a, b] ; es decir :

1.∫_(-∞)^b▒〖f(x)dx 〗 2 . ∫_a^(+∞)▒〖f(x)dx 〗 3. ∫_(-∞)^(+∞)▒〖f(x)dx 〗 4.∫_a^b▒〖f(x)dx 〗

En 4.La función f presenta discontinuidad infinita en algún punto“c” del intervalo [a , b]

Todas ellas son llamadas integrales impropias , para cuyo cálculo se empleará un proceso de límite .Las integrales como 1,2,3, son llamadas integrales impropias con límite infinito, mientras que las integrales como 4, son integrales impropias con discontinuidad.

DEFINICIÓN DE INTEGRAL IMPROPIA CON LIMITE SUPERIOR INFINITO

1.- Si f es continua en [ a, +∞ > , y si el límite existe , entonces

DEFINICIÓN DE INTEGRAL IMPROPIA CON LIMITE INFERIOR INFINITO

2- Si f es continua en < - ∞, b ] , y si el límite existe , entonces

Si los límites en cada caso existen, se dice que la integral impropia es convergente y el valor de la integral es el valor del límite , en caso contrario se dice que la integral impropia es divergente .

DEFINICIÓN DE INTEGRAL IMPROPIA CON LIMITE SUPERIOR E INFERIOR INFINITO

3.- Si f es continua en < - ∞, + ∞ > , entonces

Estas se reducen a los casos 1 y 2, respectivamente .

X

La integral ∫_(-∞)^(+∞)▒f(x)dx Converge si ambas integrales convergen. Y diverge si alguna de ellas diverge.

Ejemplo 1 . Evaluar la integral, si es convergente ∫_1^(+∞)▒1/x^2 dx

Solución

Por definición 1.

∫_1^(+∞)▒1/x^2 dx=〖lim〗┬(b→+∞)⁡∫_1^b▒〖1/x^2 dx〗

En primer lugar, calculamos la integral ∫_1^b▒1/x^2 dx que aparece dentro del límite

∫_1^b▒1/x^2 dx= ├ -1/x⌉_1^b=-[1/b-1]

En segundo lugar, calculamos el límite de la última expresión

lim┬(b→+∞)⁡〖-[1/b-1 ]〗 =1

Por consiguiente

∫_1^(+∞)▒1/x^2 dx=1

Ejemplo 2.calcular la integral, en caso de ser convergente

∫_(-∞)^0▒√(e^x ) dx

Solución

Por la definición 2., se tiene,

∫_(-∞)^0▒√(e^x ) dx= lim┬(a→-∞)⁡〖∫_a^0▒√(e^x ) dx〗

Calculamos la integral ∫_a^0▒√(e^x ) dx que se encuentra dentro del límite

∫_a^0▒√(e^x ) dx= ∫_a^0▒e^(x/2) dx=2├ e^(x/2) ]_a^0=2(e^0-e^(a/2) )

Calculamos el límite de la expresión anterior

lim┬(a→-∞)⁡〖2(1-e^(a/2) )=2〗

Por lo tanto,

∫_(-∞)^0▒√(e^x ) dx=2

Ejemplo 3. Evaluar la integral, si es convergente,∫_(-∞)^(+∞)▒〖1/(x^2+4x+8) dx〗

Solución

Por definición 3.

∫_(-∞)^(+∞)▒〖1/(x^2+4x+8) dx〗= ∫_(-∞)^0▒〖1/(x^2+4x+8) dx〗+∫_0^(+∞)▒〖1/(x^2+4x+8) dx..... (* )〗

Calculamos la primera integral ∫_(-∞)^0▒〖1/(x^2+4x+8) dx〗

∫_(-∞)^0▒〖1/(x^2+4x+8) dx〗= 〖lim〗┬(a→-∞)⁡∫_a^0▒〖1/(x^2+4x+8) dx〗=〖lim〗┬(a→-∞)⁡∫_a^0▒〖1/(〖(x+2)〗^2+4) dx〗

=〖lim〗┬(a→-∞)⁡〖 ├ 1/2 Arctg (x+2)/2⌉_a^0 〗 = 〖lim〗┬(a→-∞)⁡〖1/2 [Arctg(1)-Arctg((a+2)/2)]〗

Entonces

∫_(-∞)^0▒〖1/(x^2+4x+8) dx〗=1/2 [π/4-(-π/2)]=3/8 π ............… ...(1 )

Calculamos la segunda integral ∫_0^(+∞)▒〖1/(x^2+4x+8)

...