Prueba De Ingles

Series y Sucesiones

Sucesiones

Es un conjunto de términos formados por una ley o regla determinada. Es conjunto es una función cuyo dominio son los números enteros positivos (Z+).

Para simbolizar un término general se utiliza la letra a ó s, y las variables con la letra minúscula n.

Ejemplos:

Serie:

Es la sumatoria de una sucesión

Ejemplos:

Tipos de series:

Serie finitas: Tienen un número limitado de términos.

Series infinitas: el número de términos es ilimitado.

Series monótonas: son aquellas que mantienen una misma tendencia has el infinito

Crecientes: a1 < a2 < a3 <……< an (va aumentando término a término)

Decreciente: a1 > a2 > a3 >……> an (va disminuyendo término a término)

Serie convergente

En matemáticas, una serie (suma de los términos de una secuencia de números), resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo, constituiría lo que se denomina serie divergente.

Serie geométrica

En matemática, una serie geométrica es una serie en la cual la razón entre los términos sucesivos de la serie permanece constante.

Por ejemplo la serie

Es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por.

Series de potencias

Cuando estudiamos las series geométricas, demostramos la siguiente fórmula: si |r| < 1, entonces

Definición 1: Sea una sucesión de números reales cualquiera. Una serie de potencias es una serie de la forma:

Donde x es una variable. .

Más generalmente, una serie de la forma

Es llamada una serie de potencias centrada en c.

Por ejemplo,

son series de potencias centradas en 0,

1 y -2, respectivamente.

Una serie de potencias en x puede ser vista como una función en x:

Cuyo dominio es el conjunto de todos los valores que puede tomar x para los cuales la serie converge.

En particular, el dominio siempre contiene al punto x = c, en el cual vale

Ejemplo: Consideremos la serie de potencias

Usando el criterio del cociente y el hecho que

Tenemos que la serie converge si R = |x| < 1 y diverge si |x| > 1. Para determinar que ocurre en

|x| = 1, observemos que

De modo que diverge en ambos casos. En suma, el dominio de la función

Es (0, 1) = {x: |x| < 1}.

Teorema 1 (Convergencia de series de potencias) Para una serie de potencias centrada en C, ocurre alguna de las tres siguientes posibilidades:

• a) La serie converge sólo en c.

b) Existe un número R > 0 tal que la serie converge absolutamente si |x - c| < R y diverge si

|x - c| > R.

c) La serie converge para todo

Demostración: Sea una

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