Introducción a la algoritmia y programación

Facultad de Ingeniería Industrial

Introducción a la tecnología de informática

Ing. Juan Carlos Galeano

Alejandro Triana Jiménez
Código: 1457104

Introducción a la algoritmia y programación

Universidad del valle
Sede Zarzal
2014

Introducción

Este trabajo se realiza con el fin de ampliar nuestros conocimientos en conceptos que contiene la matemática y que de cierta forma influyen en el aprendizaje del área de algoritmia y programación, teniendo en cuenta que todo conlleva a un algoritmo, siendo este un proceso de pasos a seguir y los cuales son utilizados por la matemática para resolver muchos problemas.

1. ¿Qué es la inducción matemática, Conceptos y ejemplos?

El principio de Inducción Matemática es un método que se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas.

Es un método simple que consta de tres pasos fundamentales en los cuales se debe demostrar la propiedad reemplazando su incógnita por 1, luego por k y finalmente por k+1.

Ejemplo de inducción matemática:

Se tratará de demostrar por inducción la siguiente proposición:

[pic 2] [pic 3]

1. Se comprueba para n=1

[pic 4]

Se tiene por tanto que la proposición es verdadera para n=1

2. Hipótesis inductiva (n=h)

[pic 5]

3. Tesis inductiva (n=h+1)

[pic 6]

[pic 7]

4. Demostración de la tesis en base a la hipótesis

[pic 8]

Se aplica la hipótesis de inducción:

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11] (Sacando factor común)

[pic 12]

[pic 13]

Por lo tanto, verificándose la proposición para [pic 14] y para [pic 15] siendo [pic 16] cualquier número natural, la proposición se verifica[pic 17].

2. ¿Qué es la deducción matemática, Conceptos y ejemplos?

Una deducción o demostración matemática es una sucesión coherente de pasos que, tomando como verdadero un conjunto de premisas llamado hipótesis, permite asegurar la veracidad de una tesis. Estos pasos deben estar fundamentados en la aplicación de reglas de deducción (fundadas ya sea en axiomas o en teoremas anteriormente demostrados o en reglas básicas de deducción del sistema en cuestión). El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso.

Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de teoremas, sí existen diferentes tipos de demostraciones que son utilizados comúnmente en matemáticas:

1. Demostración por contraposición(formalizado y utilizado, en los silogismos, por Aristóteles)
2. Demostración por reducción al absurdo(formalizado y utilizado por Aristóteles), y como caso particular, descenso infinito
3. Inducción matemática
4. Inducción fuerte

Ejemplo: Demostración de la afirmación   [pic 18]

Antes de demostrar esto debemos tener claro que existen ciertos axiomas que nos permitirán, en este caso, demostrar nuestra afirmación. Dado que nos basaremos en axiomas, tenemos que nuestra demostración (siendo cada paso lógico correcto) es verdadera.

1. Usaremos los siguientes Axiomas de los Números Reales:

1. [pic 19]

2. Si [pic 20]con a, b, c reales. Entonces

[pic 21]

Asumidos ciertos estos axiomas podemos comenzar con nuestra demostración.

Supongamos que [pic 22] como:

[pic 23], aplicando el axioma 2 al multiplicar por 1 (que es menor que cero), tenemos que

[pic 24], lo cual es una contradicción.

Como nuestra hipótesis era que[pic 25], y ésta es falsa, lo único que ahora podemos decir es que[pic 26]. Pero el axioma 1 dice que [pic 27]

Luego

[pic 28]

3. ¿Qué es el cálculo proposicional?

El cálculo proposicional es denominado también lógica proposicional es definida  como la ciencia que trata de los principios válidos del razonamiento y la argumentación. El estudio de lógica es el esfuerzo por determinar las condiciones que justifican a una persona para pasar de una proposición dada, llamadas premisas, a una conclusión que se deriva de aquellas.

Una proposición es un ordenamiento resultado de nuestra actividad pensante donde expresamos, bien la posibilidad de la ocurrencia de un hecho, o la necesidad de una acción, o una orden, un deber, una interrogante, entre otras cosas. Puede decirse que una proposición es una frase declarativa o juicio al que, podemos asignarle un valor verdadero ya sea cierto o falso. Por ejemplo la frase “El programa es de Soft”, es una proposición, a priori no puede decirse si esta proposición tiene un valor cierto o falso, pero si se parte de un contexto en que se establece unívocamente de qué programa se está hablando y además se conoce que efectivamente este es de Soft, puede afirmarse que la proposición es cierta.

4. ¿Cómo se manejan los límites matemáticos? Conceptos y ejemplos.

El concepto de límite es uno de los más revolucionarios de toda la matemática, no solo por los caminos que abrió en todas las ramas de esta ciencia, sino por la manera novedosa como permitió entender conceptos antiguos.

Los límites se pueden ver en una sucesión, allí se representa como a partir del segundo número, cada uno de ellos es exactamente la mitad del anterior. Esta regla sencilla para la generación de los términos de la sucesión, ha permitido suspender la enumeración de ellos después del octavo, pues se sabe exactamente como sigue. La sucesión es infinita pero se tiene la certeza de que estos números son cada vez más pequeños aunque siempre positivos.

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