El coeficiente de correlación lineal e interpretarlo

Universidad Fermín Toro

Vice-rectorado Académico

Escuela de Administración

Luis Arráez

Una compañía desea hacer predicciones del valor anual de sus ventas totales en cierto país a partir de la relación de éstas y la renta nacional. Para investigar la relación cuenta con los siguientes datos:

X 239 252 257 274 293

Y 429 436 440 447 458

X representa la renta nacional en millones de bs e Y representa las ventas de la compañía en miles de bs en el periodo que va desde 2007 hasta 2012 (ambos inclusive). Calcular:

El coeficiente de correlación lineal e interpretarlo.

Si en 2011 la renta nacional del país fue de 325 millones de bs. ¿Cuál será la predicción para las ventas de la compañía en este año?

Solución:

Construimos una tabla, teniendo en cuenta que la frecuencia absoluta es uno. Debemos conocer la media aritmética de las dos variables, las varianzas, las desviaciones típicas y la covarianza.

Media aritmética Varianza Covarianza

fi xi yi xi2 yi2 Xi. yi

1 239 429 57121 184041 102531

1 252 436 63504 190096 109872

1 257 440 66049 193600 113080

1 274 447 75076 199809 122478

1 293 458 85849 209764 134194

5 1315 2210 347599 977310 2906150

Medias aritmética:

x ̅=(∑▒x_i )/N=1315/5=263

y ̅=(∑▒y_i )/N=2210/5=442

Variaciones y desviaciones Típicas:

〖σ^2〗_x=(∑▒(x_i )^2 )/N-(x ̅ )^2=1729225/5-(263)^2=276676

σ_x=526

〖σ^2〗_y=(∑▒(y_i )^2 )/N-(y ̅ )^2=4884100/5-(442)^2=781456

σ_y=√78145=884

Covarianza:

σ_xy=(∑▒〖x_i*y_i 〗)/N-x ̅*y ̅=581230-116246=464984

Con estos resultados obtenidos calculamos la para a de este problema:

r=σ_xy/(σ_x*σ_y )=1

La covarianza es positiva; correlación directa. Al aumentar las ventas aumentara la renta

Y como el valor de la covarianza es igual a 1 entonces quiere decir que la estimación realizada es el valor real.

Ahora calculemos la parte b para ello necesitamos calcular la recta de regresión de y sobre x:

y=y ̅+σ_xy/〖σ^2〗_x (x-x ̅ )=442+464984/276676=443.68(x-263)=443.68x-116688

y=443.68x-116688

Para x= 325 millones de bolívares tenemos:

y=443.68(325)-116688=27508 miles de bs

La predicción realizada es buena ya que el coeficiente de correlación es igual a uno.

Concluimos con respecto a las 2 variables que tenemos que al aumentar la compañía el valor anual de sus ventas aumentara el volumen de ventas y por consecuencia la renta tendrá el mismo comportamiento.

La correlación es fuerte.

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