Filosofia

1 Esperanza Matematica

Los conceptos de -algebra, medida (en particular las medidas de probabilidad), y funcion

medible (en particular las variables aleatorias), han surgido de los esfuerzos hechos en el

siglo XIX y principios del XX para ampliar el concepto de integral a clases cada vez mas

amplias de funciones. La ampliacion denitiva fue llevada a cabo por Lebesgue, despues

de que Borel abriera el camino. Lebesgue trabajo con la medida especial conocida como

\medida de Lebesgue". Radon aplico el mismo punto de vista, trabajando con medidas

de \Stieljes-Lebesgue". Por ultimo, Frechet, usando aun el punto de vista de Lebesgue,

prescindio de las restricciones sobre el espacio de medida sobre el que estaban denidas

las funciones numericas a integrar.

La axiomatica de la probabilidad de Kolmogorov, introduciendola como una medida

sobre una -algebra \de los sucesos", supuso un importante avance de la Teora de la

Probabilidad, que tuvo desde entonces el importante apoyo de la Teora de la Medida

en su evolucion. Asi, el concepto de Esperanza Matematica, que juega en el Calculo de

Probabilidades un papel preponderante como medida de centralizacion, paso de ser una

simple media aritmetica ponderada, calculable en ciertos casos, a su generalizacion como

una \integral respecto de una medida de probabilidad". Al tiempo, la Teora de la Probabilidad

ha enriquecido notablemente a la Teora de la Medida no solo por la justicacion

practica que supone, sino por la abundancia de nuevas ideas que ha introducido y por los

nuevos metodos de demostracion que ha impuesto.

Lebesgue tiene dos deniciones equivalentes de integral, una descriptiva a partir de

sucesiones \convenientes" (mas propia del Analisis Matematico), que basicamente consiste

en la completizacion del espacio de las variables simples respecto de la distancia inducida

por la integral, y otra constructiva. Usaremos la denicion constructiva de integral, de la

cual hay muchas variantes, pero las ideas basicas son siempre las mismas y, en general, la

integral se comienza deniendo siempre para funciones simples. Aunque no excluiremos

los valores innitos, sin embargo deberemos evitar la aparicion de la expresion 1

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