Lógica Proposicional

Lógica Proposicional

1.1 Introducción

El ser humano, a través de su vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de un lenguaje determinado (oral, escrito, etc.) por medio de las denominadas frases u oraciones. Estas pueden tener diferentes significados pero siempre van a resumirse a las formas de verdaderas o falsas, siendo éste el precedente fundamental para el desarrollo humano. Lo importante en el presente estudio es el hecho de que, a partir de los enunciados y de acuerdo a su significado es posible establecer una proposición y a partir de un conjunto de éstas podemos llegar a una conclusión o inferencia, siendo la lógica la ciencia encargada del estudio de éstas.

Hoy en día, la lógica proposicional que estudiaremos en este capítulo, tiene una importancia singular dada su aplicación en los llamados "circuitos lógicos" de uso en la electrónica y la informática.

1.2 Proposición

La proposición es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno y sólo uno de los valores de verdad, que pueden ser:

VERDADERO (V) o FALSO (F)

En resumen, podemos dar la siguiente definición:

Proposición es toda oración declarativa.

Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t, ... etc.

Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad:

p : 15 + 5 = 21 (F)

q: Santa Fe es una provincia Argentina. (V)

r: El número 15 es divisible por 3. (V)

s: El perro es un ave. (F)

1.3 Expresiones No Proposicionales

Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos

tenemos a los exclamativos, interrogativos o imperativos.

Así tenemos, por ejemplo:

- ¿Cómo te llamás?

- Prohibido pasar

- Borrá el pizarrón.

1.4 Enunciados Abiertos

Si en la proposición: "cinco es mayor que tres" (en símbolos: 5 > 3) reemplazamos al número 5 por la letra x, se obtiene la expresión "x es mayor que tres" (x > 3), y si convenimos que x no represente necesariamente al número 5, sino a un número cualquiera, entonces al enunciado x > 3 se le denomina enunciado abierto.

1.5 Clasificación de las Proposiciones

Aquellas proposiciones que constan o se les puede representar por una sola variable, se llaman proposociones simples o atómicas. Por ejemplo, sea la proposición

p: 3 + 6 = 9

es una proposición simple o atómica.

Cuando una proposición consta de dos o más enunciados simples, se le llama proposición compuesta o molecular. Así, por ejemplo:

q: Pitágoras era griego y era geómetra.

p y q

encontramos dos enunciados. El primero (p) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q) que Pitágoras era geómetra.

1.6 Notación y Conectivos Lógicos

A partir de proposciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir que se puede operar con proposiciones , y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos.

A continuación vemos una concreta definición de cada uno:

Símbolo Operación asociada Significado

~









 Negación

Conjunción o producto lógico

Disyunción o suma lógica

Implicación

Doble implicación

Diferencia simétrica no p o no es cierto que p

p y q

p o q (en sentido incluyente)

p implica q, o si p entonces q

p si y sólo si q

p o q (en sentido excluyente)

1.7 Operaciones Proposicionales

Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuación el uso y significado de los diferentes conectivos lógicos mencionados arriba:

1.7.1 Negación

Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo:

p: Diego estudia matemática ~p: Diego no estudia matemática

Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:

p

~p

V

F F

V

Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación.

Ejemplo.

La negación de

p: todos los alumnos estudian matemática

es ~p: no todos los alumnos estudian matemática

o bien: ~p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática

~p: hay alumnos que no estudian matemática

1.7.2 Conjunción

Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p  q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:

p q p  q

V

V

F

F V

F

V

F V

F

F

F

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.

Ejemplo.

Sea la declaración

i) 5 es un número impar y 6 es un número par

p  q

vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son

p: 5 es un número impar

q: 6 es un número par

y por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración i) es verdadera.

Ahora bien, sea la declaración

ii) Hoy es el día 3 de noviembre y mañana es el día de 5 de noviembre

Esta conjunción es falsa, ya que no puden ser simultaneamente verdaderas ambas proposiciones.

1.7.3 Disyunción

Dadas dos proposiciones p yq, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p  q cuya tabla de valor de verdad

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