Sistema Axiomaticos

Un sistema axiomático puede tener expresados sus axiomas de manera formal o de manera informal:

• Una axiomatización formal usa un lenguaje formal y en él cada axioma es una cadena finita de signos en el alfabeto del lenguaje formal, siguiendo reglas combinatorias que hacen de la secuencia una fórmula bien formada.

• Una axiomatización informal usa una lengua natural formalizada y definiciones no ambiguas, los libros de matemática y otras disciplinas formales normalmente redactan los axiomas de esta manera.

Los sistemas de axiomas formales son más sencillos de estudiar y son preferibles para caracterizar las propiedades de los sistemas matemáticos. En particular admiten una caracterización semántica muy clara en la teoría de modelos y sus propiedades deductivas pueden ser tratadas en la teoría de la demostración. Por el contrario, las axiomatizaciones informales sólo son útiles cuando se tiene un modelo concreto en mente y se pretenden buscar propiedades que se cumplen en el modelo.

Componentes de un sistema axiomático formal[editar • editar fuente]

Un sistema axiomático formal consta de los siguientes elementos:

• Un alfabeto S para construir expresiones formales que incluye:

• Un conjunto de símbolos para conectivas lógicas, cuantificadores

• Un conjunto de símbolos para designar variables

• Un conjunto de símbolos para constantes (que tendrán en un modelo una interpretación fija).

• Un conjunto de símbolos que serán interpretados como funciones.

• Un conjunto de símbolos que serán interpretados como relaciones.

• Una gramática formal que incluirá:

• Reglas de buena formación, que reproducen la "morfología" del lenguaje formal.

• Reglas de inferencia que permitirán deducir unas proposiciones de otras, estas reglas reproducen la "sintaxis" del lengua formal.

• Un conjunto de axiomas inicial, o expresiones bien formadas son el punto de partida de cualquier deducción.

Para el conjunto de expresiones bien formadas exresadas en el lenguaje formal anterior puede definirse una S-estructura en la que a cada variable constante o cada ocurrencia libre de una variable reciba un valor dentro del modelo (es decir, las constantes y variables libres serán conjuntos preasignados de la S-estructura). Las funciones y relaciones serán definidas como funciones y relaciones matemáticas dentro de la S-estructura. Una vez definidas las constantes,

3)

variables libres, funciones y relaciones resulta trivial atribuir un significado concreto a las expresiones del lenguaje formal en la S-estructura.

...