Definición de una función de varias variables.

18 de Noviembre del 2016 

4.1 Definición de una función de varias variables

Sea [pic 1] un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado [pic 2] de [pic 3] le corresponde un único número real [pic 4], entonces se dice que [pic 5] es una función de [pic 6] y [pic 7]. El conjunto [pic 8] es el dominio de [pic 9], y el correspondiente conjunto de valores [pic 10] es el rango de [pic 11].

Ejemplos de funciones de varias variables:

Funciones de dos variables.

[pic 12]

[pic 13]

Funciones de tres variables.

[pic 14]

[pic 15]

Hallar el domino de cada función.

1. [pic 16]

Es una función radical por lo cual el valor dentro de la raíz no puede ser negativo.

Para evitar que la función se indetermine se realiza lo siguiente.

[pic 17]

[pic 18]

       Dom  [pic 19][pic 20]

Solución:[pic 21]

1. [pic 22]

         Como es un cociente el denominador no debe ser cero.

[pic 23]

 Dom [pic 24][pic 25]

Solución:[pic 26]

1. [pic 27]

    Es una función radical por lo cual el valor dentro de la raíz no puede ser negativo.

[pic 28]

[pic 29]

           Dom [pic 30][pic 31]

Solución: [pic 32]

1. [pic 33]

[pic 34]

         Dom [pic 35][pic 36]

Solución:[pic 37]

1. [pic 38]

Dom [pic 39]

Solución: [pic 40]

4.2 Gráfica de una función de varias variables. Curvas y superficies de nivel

La gráfica de una función [pic 41] de dos variables es el conjunto de todos los puntos[pic 42] para los que [pic 43] y [pic 44] está en el dominio de [pic 45]. Esta gráfica puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio. La gráfica de [pic 46] es una superficie cuya proyección sobre el plano [pic 47] es [pic 48], el dominio de [pic 49]. A cada punto [pic 50] en [pic 51] corresponde un punto [pic 52] de la superficie y, viceversa, a cada punto [pic 53] de la superficie le corresponde un punto [pic 54] en [pic 55].

Gráfica las siguientes funciones en el plano [pic 56].

1. [pic 57]

[pic 58]

Solución: parábola horizontal cóncava hacia la derecha.

1. [pic 59]

[pic 60]

Solución: parábola vertical cóncava hacia abajo.

1. A que gráfica corresponde la siguiente función.

[pic 61]

1. [pic 62]

1. [pic 63]

Solución: a)

1. A que gráfica corresponde la siguiente curva de nivel.[pic 64]

[pic 65]

Solución: c)

a)

[pic 66]

b)

[pic 67]

c)

1. Relaciona las siguientes gráficas con sus curvas de nivel.

1. [pic 68] 
2.  [pic 69]
3. [pic 70]
4. [pic 71]

1. [pic 72]
2. [pic 73]
3. [pic 74]
4. [pic 75]

Solución: 1(b), 2(a), 3(d), 4(c)

1. Límite y continuidad de una función de varias variables.

Límite:

sea [pic 76]una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en , excepto posiblemente en , y sea [pic 79]un número real. Entonces[pic 77][pic 78]

[pic 80]

Si para cada existe un  tal que[pic 81][pic 82]

...