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En teoría de conjuntos, la diferencia entre dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos aquellos en el primero de los conjuntos iniciales que no estén en el segundo. Por ejemplo, la diferencia entre el conjunto de los números naturales N y el conjunto de los números pares P es el conjunto de los números que no son pares, es decir, los impares I:

\mathbb N = \{ 1, 2, 3, 4, \ldots \}

P = \{ 2, 4, 6, 8, \ldots \}

I = \{ 1, 3, 5, 7, \ldots \}

Como no hay ningún número par que no sea un número natural, la diferencia P menos N no tiene ningún elemento, por lo que es el conjunto vacío. La diferencia entre dos conjuntos A y B se denota por A \ B ó A − B, por lo que: N \ P = I, y también P − N = ∅.

Índice [ocultar]

1 Definición

2 Propiedades

3 Véase también

4 Bibliografía

Definición[editar]

Diferencia entre los conjuntos A y B, y viceversa.

Dados dos conjuntos A y B, su diferencia es el conjunto que contiene todos los elementos de A que no están en B:

La diferencia de A menos B (o entre A y B) es otro conjunto A \ B (o también A − B) cuyos elementos son todos aquellos elementos de A que no lo sean de B:

x\in A\setminus B\text{ si y s}\acute{\text{o}}\text{lo si }x\in A\text{ pero }x\notin B

La diferencia entre A y B también se denomina complemento relativo de B en A, y se denota ∁AB, cuando el segundo es un subconjunto del primero. Este nombre proviene de la relación entre las operaciones de diferencia y complemento (ver más abajo). La norma ISO da preferencia a la notación con barra invertida. [cita requerida]

Ejemplo.

Sean A = {♠, 5, z, R, 0} y B = {0, p, 9, z, Δ}. Sus diferencias son A \ B = {♠, 5, R} y B \ A = {p, 9, Δ}

Sean los conjuntos de números naturales P = {n: n es par} y P = {n: n es primo}. La diferencia P \ P es entonces {n: n es par y no es primo} = {n: n es par y compuesto} = {4, 8, 6, ...}. Por otro lado, P \ P = {n: n es primo y no es par} = {n: n es primo e impar} = {3, 5, 7, 11, ...}.

En la introducción se mostró que la diferencia P \ N es el conjunto vacío. Además, P \ I es igual a P: ningún número par es a la vez un número impar.

Propiedades[editar]

Artículo principal: Álgebra de conjuntos

De la definición de la diferencia de conjuntos, puede deducirse inmediatamente:

Elemento neutro. La diferencia entre un conjunto y el conjunto vacío es el propio conjunto:

A \setminus \varnothing = A

La diferencia de un conjunto menos él mismo es el conjunto vacío:

A - A = \varnothing

Estas igualdades son un caso particular de la siguiente propiedad:

La diferencia entre dos conjuntos es el conjunto vacío si y sólo si el primero es un subconjunto del segundo:

A - B = \varnothing

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