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4.1 Definición de un espacio vectorial

En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ).

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Satisfacen diez axiomas donde X,Y,Z vectores:

1) Si X pertenece a V y Y, entonces X+Y pertenece a V

(Cerradura bajo la suma).

2) Para todo X,Y,Z en V, (X+Y)+Z=X+(Y+Z)

(Ley asociativa de la suma de vectores)

3) Existe un vector 0 pertenece a V tal que para todo x que pertenece a V, X+0=0+X=X.

(Identico Aditivo)

4) Si X pertenece a V, Existe un vector -X en V tal que X+(-X)=0

(Inverso Aditivo de X)

5) Si X y Y estan en V, entonces X+Y=Y+X

(Ley de conmutatividad)

6) Si X pertenece V y t es un escalar, entonces t*X tambien pertenece a V

(Cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

7) Si X y Y pertenecen a V y k es un escalar, entonces k*(X+Y)=k*X+k*Y

(Primera de distributiva)

8) Si X y Y estan en V y t y k son escalares entonces (t+k)*X=tX+kX

(Segunda ley distributiva)

9) Si X pertenece y k y t son escalares,entonces k*(t*X)=(k*t)*X

(Ley asociativa de multiplicacion por un escalar)

10) Para cada vector X que pertenece a V, 1X=X.

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.

Sea U un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Un subconjunto no vacío S de U es un subespacio vectorial de U si y si olo si S es un espacio vectorial sobre IK respecto a las leyes de composición heredadas de U

Ejemplo:

Calcular bases de los subespacios de R

4 S, T, S + T y S ∩ T, siendo S = {(x1; x2; x3; x4)|x1 − x2 = 0}

y T =< (1;1;2;1);(2;3; −1;1) >.

Solución. Tenemos

S = {(x1; x2; x3; x4)|x1 − x2 = 0} = {(x1; x1; x3; x4)|x1; x2; x3 ∈ R} =< (1;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1) >

luego un sistema generador de S es {(1;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1)}. Ahora,

(0;0;0;0) = α (1;1;0;0) + β (0;0;1;0) +  α= β=o sea que es libre, resulta que B S = {(1;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1)} es una base de S.

Un sistema generador de T es (1;1;2;1);(2;3; −1;1). Pero es también libre, ya que (0;0;0;0) = 









y la única solución al sistema anterior es ,

...