Historia De Los Limites Matematicos

Limites indeterminados.

En muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes, diferencias y productos de funciones en los que al reemplazar la variable por el valor al cual tiende se generan indeterminaciones del tipo:

a)∞/∞ b)∞-∞ c)0/0 c)0∞

El resultado de estos límites no puede anticiparse y el mismo puede ser cero, ∞ , -∞, un número finito diferente de cero, o bien puede no existir. Para resolverlos, se realizan procedimientos algebraicos adecuados que permitan salvar la indeterminación.

Algunos teoremas de límites que debemos tener presentes son:

a) lim┬(n→∞)⁡〖(1/n)^ 〗=0 b)lim┬(n→∞)⁡█((n)^x=∞@)

c)lim┬(n→∞)⁡█((kn)^n=∞@) d)lim┬(n→∞)⁡〖█((k/n)=0@)^ 〗

f) 1/0=∞ g) 0/1=0

La indeterminación ∞/∞.

Se analizará el límite del cociente de dos funciones polinomiales en el que la variable crece o decrece indefinidamente. Se debe tener en cuenta que el límite de una función polinomial de grado n ³ 1 cuando x tiende a +∞ ó a -∞ es +∞ ó -∞ . Para resolver límites de este tipo, se dividen el numerador y el denominador de la función dada por xn, siendo n el mayor de los grados de las funciones polinomiales. Luego se aplican las propiedades de los límites.

Ejemplo.

La función dada consiste en el cociente de dos funciones polinomiales: una de grado 4 y otra de grado 3. Por lo tanto, se dividen el numerador y el denominador por x4 y resulta:

En el ejemplo dado, el grado de la función polinomial del numerador es mayor que el de la del denominador y se obtuvo en este caso .

Ejemplo.

Se dividen el numerador y denominador por x3:

.

Puede observarse que el ejemplo se refiere al cálculo del límite del cociente de dos funciones polinomiales del mismo grado y se obtuvo como resultado el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado de ambas.

Ejemplo.

.

Se dividen el numerador y denominador por x4:

En este ejemplo, el grado de la función polinomiales del numerador es menor que el de la del denominador y se obtuvo como resultado cero.

Nota. Al calcular , donde p(x) y q(x) son dos funciones polinomiales, se obtiene:

a) el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado de la función polinomial del numerador y la del denominador, si ambas tiene

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