INTEGRACION

Integración

Para otros usos de este término, véase Integración (desambiguación).

«Intoletrada» redirige aquí. Para otras acepciones, véase Intoletrada (desambiguación).

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y signo negativo cuando toma valores negativos.

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Índice [ocultar]

1 Principales objetivos del cálculo integral

2 Teoría

3 Historia

3.1 Integración antes del cálculo

3.2 Newton y Leibniz

3.3 Formalización de las integrales

3.4 Notación

4 Terminología y notación

5 Conceptos y aplicaciones

6 Definiciones formales

6.1 Integral de Riemann

6.2 Integral de Darboux

6.3 Integral de Lebesgue

6.4 Otras integrales

7 Propiedades de la integración

7.1 Linealidad

7.2 Desigualdades con integrales

7.3 Convenciones

8 Teorema fundamental del cálculo

8.1 Enunciado de los teoremas

9 Extensiones

9.1 Integrales impropias

9.2 Integración múltiple

9.3 Integrales de línea

9.4 Integrales de superficie

9.5 Integrales de formas diferenciales

10 Métodos y aplicaciones

10.1 Cálculo de integrales

10.2 Algoritmos simbólicos

10.3 Cuadratura numérica

11 Algunas aplicaciones

11.1 Valor medio de una función

11.2 Aplicaciones en física

12 Referencias y notas

13 Bibliografía

14 Véase también

15 Enlaces externos

15.1 Videos

15.2 Libros online

Principales objetivos del cálculo integral[editar]

Sus principales objetivos a estudiar son:

Área de una región plana

Cambio de variable

Integrales indefinidas

Integrales definidas

Integrales impropias

Integral de línea

Integrales múltiples (dobles o triples)

Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales

Métodos de integración

Teorema fundamental del cálculo

Volumen de un sólido de revolución

Teoría[editar]

se interpreta como el área bajo la curva de f, entre a y b.

Dada una función de una variable real y un intervalo de la recta real, la integral

es igual al área de la región del plano limitada entre la gráfica de , el eje , y las líneas verticales y , donde son negativas las áreas por debajo del eje .

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada . En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.

Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.

Historia[editar]

Integración antes del cálculo[editar]

La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral.

Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su método de los indivisibles y, por otro lado, con los

...