Principio de Cavalieri

Una aplicación bien conocida del Principio de Cavalieri nos permite calcular el volumen de una esfera. Podemos comparar el área de una sección de un hemisferio y el área de una sección de un cuerpo que es un cilindro menos un cono. Estas dos áreas son iguales. Entonces los dos cuerpos tienen el mismo volumen. Es fácil calcular el volumen de este segundo cuerpo, y así obtenemos el volumen del hemisferio.

Principio de Cavalieri, volumen de la esfera: para cada altura de la sección el área del disco es igual al área de la corona circular | matematicasVisuales

Tenemos que probar que el área del disco es igual al área de la conora circular (para cada sección):

Principio de Cavalieri, volumen de la esfera: área del disco y área de la corona circular | matematicasVisuales

Principio de Cavalieri, volumen de la esfera: área del disco y área de la corona circular | matematicasVisuales

Para cada altura h, el área del disco es:

y el área de la corona circular es:

Por lo tanto, para cada altura las dos secciones tienen áreas iguales.

Usando el Principio de Cavalieri podemos deducir:

Principio de Cavalieri, volumen de la esfera: el volumen de la semiesfera es igual al volumen del cilindro menos el volumen del cono | matematicasVisuales

Usando las fórmulas para el volumen de un cilindro y el volumen de un cono podemos escribir el volumen del hemisferio:

Entonces, el volumen de una esfera de radio R es (como Arquímedes ya conocía, 1800 años antes):

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