# RESUMEN CAPITULO 2 DEL LIBRO ALGEBRA UNIVERCITARIA

Salazar Razo juan Sebastián

MT120 Algebra

20 De Septiembre De 2016

1702AM

# RESUMEN CAPITULO 2 DEL LIBRO ALGEBRA UNIVERCITARIA

En este capítulo discutiremos uno de los conjuntos más importantes de las matemáticas: el sistema de los números reales. Casi todas las matemáticas que se estudian hasta el cálculo están basadas en propiedades de los números reales.

1.PROPIEDADES DE UN CAMPO: el sistema de los números reales es un conjunto que detonaremos por R, que contiene más de un elemento y tiene dos operaciones, llamadas adición y multiplicación, denotadas por “+” y “*”, respectivamente, tales que cumplen con ciertos axiomas. Estos axiomas los podemos separar, de manera natural, en varias partes: las propiedades de adición y multiplicación, las propiedades de orden y la propiedad de completidad.

De acuerdo con nuestra discusión en el capítulo 1 los dos primeros axiomas afirman que la adición y la multiplicación son operaciones conmutativas y asociativas en R. como no hay diferencia entre a+(b+c) y (a+b)+c, podemos, sin ambigüedad, usar el símbolo a+b+c para representar a cualquier de esos elementos. De la misma manera la notación a*b*c se usa para representar ya sea a*(b*c) o (a*b)*c. una situación análoga existe cuando cuatro números reales a, b, c y d se suman

Con estos acuerdos sobre la notación, podemos volver a enunciar la ley distributiva de la siguiente manera: a(b+c)= ab+ac y (b+c)a= ba+ca. En una expresión tal como ab+ac, en la que intervienen la adición y la multiplicación, acordaremos que todas las multiplicaciones se deben de realizar antes que las sumas.

Algunas veces al elemento 0 dado por se le llama el elemento idéntico aditivo de R; sin embargo es más común llamarlo el número real cero. Al elemento 1 se le llama el idéntico multiplicativo de R, o el número real uno.

Volvamos a poner énfasis en un hecho ya mencionado en el cap. 1, concerniente al principio de sustitución. Cuando la aplicamos en las operaciones de adición y multiplicación, el principio de sustitución establece que si a = c y b = d, entonces a + b = c + d y ab = cd.

En particular si a = c, podemos, usando el hecho de que b = b, escribir a + b = c + b o ab = cb. Por conveniencia, algunas veces nos referimos a estas manipulaciones diciendo: “agregando b a ambos lados de la igualdad a = c” o “multiplicando ambos lados por b”.

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2. PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES: El propósito de esta sección es presentar unos cuantos teoremas básicos acerca de los números reales. Al principio daremos la razón que justifica cada paso de una demostración haciendo referencia a un axioma específico, a un teorema o a una definición que se haya empleado.

Teorema. (Ley de la cancelación de la adición). Sean a, b, c, ∈ R. si a +b = b+ c, o si c + a = c + b, entonces a = b

Definición de división. Si a, b ∈ R y b

El símbolo a/b se usa, a menudo, en un lugar de a/b. A a/b lo llamamos el coeficiente de a entre b. los números a y b se llaman numerador y denominador, respectivamente. La definición nos permite escribir los inversos multiplicativos de una nueva manera. Por tanto, podemos escribir a/b = ab−1 = a(1/b). es importante notar que como 0 no tiene inverso multiplicativo, la expresión a/0 no tiene sentido; esto es, en R no se puede dividir por 0.

3. PROPIEDADES DE ORDENAMIENTO: Introducimos ahora el axioma de ordenamiento para R. este es el postulado que nos permite referirnos a algunos números reales como positivos y a otros como negativos. Se usa también para definir las relaciones de “mayor que” y “menor que” en R.

Axioma de ordenamiento. El conjunto R de números reales contiene un subconjunto P con las siguientes propiedades:

1. Si a, b  ∈ P, entonces también a + b ∈ P y ab ∈ P;
2. Si a ∈ R, entonces una y solo una de las siguientes proposiciones es cierta: a = 0, a ∈ P, - a ∈ P.

Otra manera de establecer P está cerrado con respecto a la adición y multiplicación. Los elementos de P se llaman los números reales positivos. Los números reales no nulos que no están en P se llaman los números reales negativos. Denotaremos la colección de números reales negativos por P.

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