Teorema Algebra

TEOREMA: Si y = f(x) es continua en x = a existe el . (La demostración es inmediata)

Sin embargo, el teorema recíproco no es cierto en general. Como ejemplo comprobarlo para:

TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO

Sea y=f(x) una función continua en x=a siendo f(a) distinto de 0 existe un entorno de x=a en el que los valores de f(x) tienen el mismo signo que f(a).

Demostración:

Supongamos que f(a)>0 (si fuese negativo, se razonaría de modo similar).

Tomemos . Por la continuidad de y=f(x) en x=a se tiene que:

Es decir:

Por lo tanto: f(x)>0. (Como se quería demostrar)

TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN

Si y = f(x) es continua en x = a y = f(x) está acotada en un cierto entorno de x = a.

Demostración:

Tomemos . Por la continuidad de y = f(x) en x = a se tiene que:

de modo que es un intervalo acotado, por lo tanto y=f(x) está acotada en el entorno de x=a.

TEOREMA DE BOLZANO

Si y = f(x) es una función continua en el [a,b] siendo distintos los signos de dicha función en los extremos del intervalo, es decir,

tal que f(c)=0.

Demostración:

Supongamos que f(a)<0 y f(b)>0 (Se razona de forma análoga si ocurre lo contrario).

Si

el teorema está demostrado. En caso contrario, la función tomará en dicho punto un valor del mismo signo que f(a) o que f(b).

Sea

el nuevo intervalo donde hay cambio de signo.

Si

el teorema está demostrado. En caso contrario, repetimos el proceso anterior, obteniéndose una sucesión

de intervalos encajados tales que cada uno es la mitad del anterior y la función toma valores opuestos en los extremos de cada intervalo. Dicha sucesión define un número real

.

Demostremos que f(c)=0.

Supongamos que

por el TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO, existirá un entorno de c donde se mantendrá el mismo signo que en c. Sin embargo, por la construcción anterior, dicho entorno contendrá uno al menos de los , donde la función tomaba valores opuestos. Llegamos pues a una contradicción f(c)=0.

Consecuencia: Si y = f(x) es continua en a,b y k es un valor comprendido entre los valores de f(a) y f(b) (o al revés)

(Basta aplicar el Teorema de Bolzano a g(x)=f(x)-k.)

TEOREMA DE WEIERSTRASS:

Si y = f(x) es continua en [a,b] f(x) alcanza el máximo y el mínimo absoluto en dicho intervalo [a,b].

Demostración:

A) Veamos, en primer lugar, que f(x) está acotada en [a,b].

Supongamos que no lo está. Consideremos el punto medio

y los subintervalos

y f(x)

no está acotada en uno de ellos, al menos, que llamaremos . Dividamos

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