Curvilinia

Unidad 5 Análisis de regresión y correlación.

Regresión Lineal Simple

El término regresión fue introducido por Galton en su libro “Natural inheritance” (1889) refiriéndose a la “ley de la regresión universal”. Se supone que se tiene una muestra (x1; y1),(x2,y2),…..,(xn, yn) Correspondiente a la observación conjunta de las variables X e Y. El objetivo será encontrar una relación entre ambas variables, esta relación podría estar dada por una recta (ecuación de regresión: yb = ß0 + ß1 . x).

Donde, las estimaciones de los parámetros ß0 y ß1 son:

ß1=Sxy/Sxx ; y ß0 = y ß 1x

Intercepto (ß0): es la estimación de y cuando x = 0:

Pendiente (ß1): es la estimación de la pendiente de la recta (magnitud del incremento (o decremento) de y por cada unidad de incremento en x:).

Además, se define el coeficiente de determinación r2; como el porcentaje de la variabilidad total que explica el modelo.

Ejemplo

Considerando los datos del problema anterior, encuentre la ecuación de regresión entre el Ingreso y el Gasto. La ecuación de predicción esperada está dada por.

x= 8

Gasto= ß0 + ß1 .x

ß1= 55,065/42,985= 1,281; y ß0= 16,65 -1,281 .13,55 = - 0,708.

Gasto= 0,708 + 1,281 . 8= 9,54

Regresión Lineal Múltiple

• Técnica de dependencia que puede utilizarse para analizar la relación entre una única variable dependiente (Y ) y varias variables independientes x1, x2,…., xk.

• Cada variable independiente es ponderada (ßj), de forma que las ponderaciones indican su contribución relativa a la predicción conjunta.

• El objetivo es usar las variables independientes cuyos valores son conocidos para predecir la única variable dependiente seleccionada por el investigador.

Correlación estadística

La correlación estadística determina la relación o dependencia que existe entre las dos variables que intervienen en una distribución bidimensional.

Es decir, determinar si los cambios en una de las variables influyen en los cambios de la otra. En caso de que suceda, diremos que las variables están correlacionadas o que hay correlación entre ellas.

Sxy=Σ (x!-x) (y!-y)/n

Donde x!, y y! son las variables para n datos que intervienen en el estudio.

En realidad la correlación es una medida sobre el grado de relación entre dos variables, sin importar cuál es la causa y cuál es el efecto. La dependencia de la que se habla en este sentido es la dependencia entre la varianza de las variables.

Coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación lineal se expresa mediante la letra r.

Propiedades

1. El coeficiente de correlación no varía al hacerlo la escala de medición.

Es decir, si expresamos la altura en metros o en centímetros el coeficiente de correlación no varía.

2. El signo del coeficiente de correlación es el mismo que el de la covarianza.

Si la covarianza es positiva, la correlación es directa.

Si la covarianza es negativa, la correlación es inversa.

Si la covarianza es nula, no existe correlación.

3. El coeficiente de correlación lineal es un número real comprendido entre menos −1 y 1.

−1 ≤ r ≤ 1

4. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a −1 la correlación es fuerte e inversa, y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime r a −1.

5. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 1 la correlación es fuerte y directa, y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime r a 1.

6. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 0, la correlación es débil.

7. Si r = 1 ó −1, los puntos de la nube están sobre la recta creciente o decreciente. Entre ambas variables hay dependencia funcional.

Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:

Estatura (X) 186 189 190 192 193 193 198 201 203 205

Pesos (Y) 85 85 86 90 87 91 93 103 100 101

Calcular el coeficiente de correlación.

xi yi xi2 yi2 xi •yi

186 85 34 596 7 225 15 810

189 85 35 721 7 225 16 065

190 86 36 100 7 396 16 340

192 90 36 864 8 100 17 280

193 87 37 249 7 569 16 791

193 91 37 249 8 281 17563

198 93 39 204 8 649 18 414

201 103 40 401 10 609 20 703

203 100 41 209 10 000 20 300

205 101 42 025 10 201 20 705

1 950 921 380 618 85 255 179 971

Correlación positiva muy fuerte.

Regresión y correlación

REGRESIÓN

La regresión estadística o regresión a la media es la tendencia de una medición extrema a presentarse más cercana a la media en una segunda medición. La regresión se utiliza para predecir una medida basándonos en el conocimiento de otra.

MODELOS DE REGRESIÓN

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modeliza la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

: Variable dependiente, explicada o regresando.

: variables explicativas, independientes o regresores.

: parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.

donde es la intersección o término "constante", las son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión

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