Estadistica

1. Si X ~ N (40,10), calcular Pr (39≤ X ≤41) para n=10. ¿En qué intervalo se obtendrán el

95% de los resultados?

SOLUCIÓN:

Pr (39≤ X ≤41) = Pr (

10

39 − 40

≤

10

X − 40

≤

10

41− 40

) = Pr(-0.31623≤ X ≤0.31623)

Z =

10

X − 40

→ N (0,1); Pr (39≤ X ≤41) = Pr (Z≤0.31623) - Pr (Z≤-0.31623) =

= 2 Pr (Z≤0.31623)

Y por tanto, Pr (39≤Z≤41) = 2 ∗ 0.6241−1 = .02482

Pr (μ-ε≤ X ≤ μ+ε)=0.95

Pr (μ-ε≤ X ≤ μ+ε)= ) 1

10

2 ∗ Pr( ≤ −

ε Z

Pr (Z≤

10

ε

)=

2

1+ 0.95

=0.975 →

0.975 Z → ε = 1.96 10 = 6.1981

Por tanto, el intervalo es: (33.802,46.198)

2. Si el contenido en gr. de un determinado medicamento X sigue una distribución

N(7.5,0.3), calcular la probabilidad de que para una muestra de tamaño n=5, se obtenga

medio menor que 7, Pr ( X ≤ 7).

SOLUCIÓN:

A partir de una muestra de tamaño n=5 de una población normal N(μ=7.5,σ=0.3), tenemos que:

Pr( 3.7269)

5

0.3

7 7.5

5

0.3

Pr( 7) Pr 7.5 = ≤ −

   





   





−

≤

−

X ≤ = X Z

Donde Z tiene una distribución normal estándar, y por tanto, Pr ( X ≤7) = 0.0001

3. Si la altura de un grupo de población sigue una distribución normal N(176,12), calcular

la Pr(S≤10) para una muestra de tamaño 8.

SOLUCIÓN:

Considerando una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal N(μ,σ), por el

teorema de Fisher tenemos que:

( ) 2

2 1

2

1 ~

−

−

n

n S χ

σ

En particular, para una muestra de tamaño n=8 de una población normal N(176,12), el

estadístico 2

144

7 S sigue una distribución 2

7 χ , y por tanto

( ) ( ) Pr( 4.8611)

144

700

144

Pr 10 Pr 2 100 Pr 7 2 = ≤ 







S ≤ = S ≤ =  S ≤ T

Donde la variable T sigue una distribución 2

7 χ , es decir,

Pr(S ≤ 10)= 0.3232

4. Un ascensor limita el peso de sus cuatro ocupantes a 300Kg. Si el peso de un individuo

sigue una distribución N( 71,7 ), calcular la probabilidad de que el peso de 4 individuos

supere los 300Kg.

SOLUCIÓN:

Teniendo en cuenta que el peso de cada individuo tiene una distribución normal N(μ = 71,σ =

7), si seleccionamos una muestra aleatoria de 4 individuos, tenemos que:

( )

Pr( 1.1429) 1 Pr( 1.1429)

4

7

75 71

4

7

Pr 75 Pr 71

4

300

4

Pr 300 Pr

4

1

4

1

= > = − ≤

=

   





   





−

>

−

= > =

   





   





> = 









>

Σ

Σ =

=

Z Z

X X

Xi

X i

i

i

donde Z tiene una distribución normal estándar, y por tanto,

Pr 300 1 0.8735 0.1265

...