Exposicion De Newton

CUADRATURAS DE CURVAS EN EL PLANO

DIEGO FERNANDO BADILLO DOMÍNGUEZ

LEIDY JOHANA CADENA MEJÍA

MARÍA FERNANDA MONSALVE VESGA

NELSON JAVIER RUEDA

PROFESOR: GABRIEL YAÑEZ CANAL

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

FACULTAD DE CIENCIAS

ESCUELA DE MATEMÁTICAS

BUCARAMANGA

2012

INTRODUCCIÓN

Las soluciones a los problemas de áreas bajo una curva determinada son conocidos desde la antigüedad, pero no fueron afrontados mediante un algoritmo especial y siempre involucraban la aplicación de métodos especiales para problemas particulares. Tan singular brecha se propuso, tal vez sin querer, más por el gusto mismo que por la vanagloria; cerrarla Newton.

Sus singulares y magistrales ideas se fundamentan y concluyen con el que hoy denominamos Teorema Fundamental del Cálculo; y a la luz de sus apreciaciones se desarrolla en el presente documento el cálculo de áreas bajo curvas conocidas mediante los métodos empleados por el genial maestro.

CUADRATURAS DE CURVAS EN EL PLANO

En el presente documento se hará uso de la magistral idea de Newton de realizar el cálculo de áreas bajo curvas resolviendo las ecuaciones afectadas mediante series de potencias e integrando luego los términos de dichas series de potencias término a término. Esbozaremos de forma breve la construcción de dichas curvas y haremos mención a los métodos utilizados por Sir Isaac Newton para las elegantes cuadraturas de las mencionadas curvas. Así mismo, incluiremos el cálculo del número π realizado por Newton, con increíble precisión.

CUADRATURA DE LA VERSIERA (LA BRUJA DE AGNESI)

Sea OAT un semicírculo de diámetro 1 en el eje y. Dado un punto D en el eje x horizontal, sea P el punto en CI con la misma altura de la intersección A del semicírculo OAT y la diagonal OB del rectángulo ODBT. Entonces P es el punto típico de la versiera.

Cálculo de la ecuación de la versiera (LA BRUJA DE AGNESI)

Tomando el punto O como origen de coordenada, y que T en el lado positivo del eje y, y tomando como radio de la circunferencia el valor a.

Según la figura tenemos las siguientes ecuaciones, por la definición de tangente en el triángulo OAE rectángulo en E y el triángulo OBD rectángulo en D, Semejantes entre sí:

En el triángulo ACF rectángulo en F, y por el teorema de Pitágoras, tenemos que

Podemos ver también las siguientes igualdades:

que se puede resumir en las siguientes relaciones:

partiendo de las ecuaciones deducimos:

entonces la ecuación cartesiana es:

Estas áreas Newton las calculó hallando el cociente seguido de una integración término a término.

Haciendo el cociente obtenemos la serie de potencias para la Bruja de Agnesi

ahora integramos término a término

y=-(8a^2)/x+(32a^5)/(3x^3 )-(128a^7)/(5x^5 )+(512a^9)/(7x^7 )-(2048a^11)/(9x^9 )+(8192a^13)/(11x^11 )-…

CUADRATURA DE LA CISOIDE

Se llama cisoide a la curva generada por la suma de los vectores posición de dos curvas dadas. La cisoide es el lugar geométrico de los puntos M, tal que OM = PQ.

La ecuación de la cisoide en coordenadas polares es:

r=2a*tan⁡θ*sin⁡θ

Haciendo r=√(x^2+y^2 ), y sin⁡〖θ=y/√(x^2+y^2 )〗, tan⁡θ=y/x , y=√(x^3 )/√(2a-x)

Podemos expresar la ecuación de la siguiente forma:

√(x^2+y^2 )=2a y/x y/√(x^2+y^2 )

x^2+y^2=2a y^2/x

x^2=2a y^2/x-y^2

x^2=y^2 (2a/x-1)

x^2/((2a-x)/x)=y^2

y^2=x^3/(2a-x)

De donde obtenemos la ecuación cartesiana:

y=√(x^3 )/√(2a-x)

Haciendo la expansión de newton en el término de abajo tenemos que:

√(2a-x)=(2a)^(1⁄2)-1/2 (2a)^(-1/2)*x+1/2 ((-1)/2) (2a)^(-3/2) (x)^2-1/2 ((-1)/2)((-3)/2) (2a)^(-5/2) (x)^3+⋯

Así la ecuación me queda expresada de la siguiente manera:

y=x^(3/2)/(√2a-x/(2√2a)-x^2/(8√(2a^3 ))-(3x^3)/(32√(2a^5 ))-(5x^4)/(64√(2a^7 ))-…)

y=x^(3/2)/((2a)^(1/2)-(x(2a)^(-1/2))/2-(x^2 (2a^3 )^(-1/2))/8-(3x^3 (2a^5 )^(-1/2))/32-(5x^4 (2a^7 )^(-1/2))/64-…)

Haciendo el cociente obtenemos la serie de potencias para la cisoide

y=x^(3/2)/√2a+x^(5/2)/(4a√2a)+x^(7/2)/(8a^2 √2a)+(3x^(9/2))/(32a^3 √2a)+(33x^(11/2))/(32a^4 √2a)+⋯

Ahora integramos término a término nos da el área bajo la cisoide

(2x^(5/2))/(5√2a)+x^(7/2)/(4a√2a)+x^(9/2)/(36a^2 √2a)+(3x^(11/2))/(176a^3 √2a)+(33x^(13/2))/(208a^4 √2a)+⋯

CUADRATURA DE LA CICLOIDE

Ecuaciones Paramétricas De La Cicloide

Considerando que el círculo rueda hacia la derecha sobre el eje x de radio b y que el punto que sirve para trazar la cicloide está situado inicialmente en el origen de las coordenadas, como se muestra en la figura después de que el círculo ha empezado a rodar. Tomando al parámetro t medido en radianes del ángulo PQS, el cual corresponde al ángulo de rotación del círculo. Lo que se quiere es expresar las coordenadas (x,y) de punto P en función de t, o dicho de otro modo, hallar una función de trayectoria r:R→R^2 tal que (x,y)=r(t) .

Teniendo en cuenta que la medida del segmento OR es igual a la medida del arco PR. Ahora bien, la medida del arco PR es bt, de manera que tenemos:

|OR|=medida del arco PR=bt

Una cicloide es una curva generada por un punto perteneciente a una circunferencia generatriz al rodar sobre una línea recta directriz, sin deslizarse.

Ahora,

y

Hay algo que explicar en esta parametrización. Si se mira bien, estas ecuaciones anteriores pueden verse como el resultado de sumar dos parametrizaciones distintas, pues el punto (x,y) puede expresarse en la forma (ver figura 2):

Es decir

Donde

Al sumarse estas dos trayectorias, el resultado es que el punto va girando en el sentido de las manecillas del reloj mientras el

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