Fisica Practica De Laboratorio Numeor 2

PRACTICA DE LABORATORIO N°2

OBJETIVOS:

Encontrará la función matemática que relaciona a dos cantidades físicas medidas experimentalmente.

Hacer uso de la técnica de linealización por el método de mínimos cuadrados.

Predecir resultados haciendo interpolaciones y extrapolaciones a la ecuación de ajuste calculada.

FUNDAMENTO TEORICO:

Es el estudio de los fenómenos físicos nos encontramos con muchas variables, que intervienen en dicho proceso lo cual es muy complejo analizarlo simultáneamente, para facilitar el análisis elegimos dos de estas variables, el conjunto de datos obtenidos, se organizan en una tabla. A partir de estos datos graficar y establecer la función que mejor se ajusta al conjunto de valores medidos, estos pueden ser lineales, exponenciales, logarítmicos, etc. Como se observa a continuación.

y=mx

AJUSTE DE CURVAS.- consiste en determinar la relación matemática que mejor se aproxima a los resultados del fenómeno medido. Para realizar el ajuste, primero elegimos la función a la que se aproxime la distribución de puntos graficados (datos obtenidos). Entre las principales funciones:

Funcion lineal: y = b + m x

Funcion Parabolica o Cuadratica: y= a + b x + c x2

Funcion Cubica: y = a + b x + c x2 + d x3

Funcion Polinominal: y = a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn

Funcion Expotencial: y = A . Bx

Funcion Potencial: y = A. xB

Función Eliptica: x^2/a^2 +y^2/b^2 =1

Funcion Hiperbolica: x^2/a^2 -y^2/b^2 =1

OTRAS.

En todas estas expresiones x e y representan variables, mientras que las otras letras denotan constantes o parámetros a determinar.

Una vez elegida la función se determina las constantes de tal manera que particularicen la curva de los fenómenos observado.

Consideraciones previas.- Los datos obtenidos en el proceso de medición se organizan en tablas. Las tablas asi formadas no informan acerca del tipo de relación existente dichas relaciones es hacer representaciones graficas en un sistema de ejes coordenados.

Se grafican en papel milimetrado los valores de la tabla.

Se compara la distribución de puntos obtenidos con curvas concocidas.

Habiendo logrado identificar la forma de la distribución de los puntos, el siguiente paso es realizar el ajuste de curvas mediante el método de minimos cuadrados y para datos cuya tendencia sea una línea recta se puede usar también el método gráfico.

Actualmente se puede realizar el ajuste de la distribución de puntos (datos experimentales) mediante programas de cómputo como Excel, MathLab, origin, etc, por ejemplo, que facilitan el trabajo.

Método de los mínimos cuadrados.- considerando los valores experimentales (x_1,y_1),(x_2,y_2 ),…,(x_a,y_a) la idea es construir una función F (x) de manera que minimice la suma de los cuadrados de las desviaciones ( ver figura N° 4), es decir:

S=D_1^2+D_2^2+D_3^2+⋯+D_n^2 sea un numero minimo

Nota:

Si se considera que S=0, es decir

D_1=D_2=⋯=D_n=0 se tendría que F(x) pasa por todos los puntos experimentales.

Un buen ajuste de curvas permite hacer buenas extrapolaciones en cierto intervalo fuera del rango de los valores medidos.

AJUSTE DE CURVA LINEAL

Metodos Geometricos.- Una función es lineal cuando las variables aparecen elevadas solo a la primera potencia.

Una función lineal que relaciones “x” con “y” se representa algebraicamente como:

Donde “b” y “m” son constantes:

en la figura N°5 se muestra una gráfica de los valores de “x” e “y” que satisfacen la ecuación. La constante “b” es la ordenada. La constante “m” es la pendiente de la recta.

Donde: b resulta de la intersección de la recta con la ordenada.

m=∆y/∆x

∆x=x_2-x_1

∆x=y_2-y_1

RECTA MINIMA CUADRATICA.- la recta minima cuadrática que ajusta el conjunto de punto (x_1,y_1),(x_2,y_2 ),…,(x_n,y_n) tiene por ecuación:

Y=b+mx

Donde las constantes m y b se determinan resolviendo las dos siguientes ecuaciones, llamadas ecuaciones normales.

∑▒〖Y_(i= ) bN+m ∑▒X_i 〗

∑▒〖〖X_i Y〗_(i = ) b∑▒X_i +m ∑▒X_i 〗

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

m=(n∑▒〖(x_i y_i )-∑▒〖x_i ∑▒y_i 〗〗)/(n∑▒x_i^2 -(∑▒〖x_1)〗^2 )

b=(∑▒〖x_i^2 ∑▒y_i -∑▒〖x_i ∑▒y_i 〗〗)/(n∑▒x_i^2 -(∑▒〖x_1)〗^2 )

Para mayor comprensión se construye la siguiente tabla:

i x_i y_i x_i.y_i x_1^2

1 x_1 y_1 x_1.y_1 x_1^2

2 x_2 y_2 x_2.y_2 x_2^2

n x_n y_n x_n.y_n x_n^2

∑▒n ∑▒x_i ∑▒y_i ∑▒〖x_i.y_i 〗 ∑▒x_i^2

TABLA N°1: tabla de datos

Y luego procederemos a calcular las sumatorias para cada columna de datos.

Finalmente usaremos la ecuación de ajuste (6) y (7) respectivamente.

EJEMPLO N°1: dado los siguientes datos, realice el ajuste por el método de mínimos cuadrados (1,2) ;(2,3) ;(5,5) ;(6,5) ;(7,6) ;(8;7) y (12,9).

TABLA N°2: tabla de datos experimentales

x y x.y x^2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

∑▒〖x_i=41〗 ∑▒〖y_i=37〗 ∑▒〖〖x_i y〗_i=269〗 ∑▒x_i^2 =323

N(número de datos)=7

Obteniendo:

∑▒〖x_i=41〗,

∑▒〖y_i=37〗,

∑▒〖〖x_i y〗_i=269〗,

∑▒x_i^2 =323.

Reemplazando estos resultados en las ecuaciones (6) y (7) y resolviendo el sistema, se tiene:

b=1,590 m=0,631

por lo tanto la recta tiene por ecuación: F(x)= y = 1,590 + 0,631x

al extrapolar(extender

...