Hay muchas razones, que obligaron a su introducción, nos centraremos en la original

Hay muchas razones, que obligaron a su introducción, nos centraremos en la original. La razón de origen, fue motivada por el uso de cálculos geométricos que aparecían en la época griega relacionados con el llamado número áureo o número de oro, el cual era el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado del mismo, que coincidía con la razón entre el segmento mayor y el menor de un segmento AB, dividido por un punto C, interior al mismo, en proporción áurea, es decir cumpliendo que AC/CB = AB/AC. A título de ejemplo, veamos su valor.

Llamemos a = AC y b= CB, con lo que la expresión anterior se transforma en: a/b = (a + b)/a, con lo que si llamamos x al número áureo, tendremos x =1 + 1/x, llegando así, a la ecuación de segundo grado: x2 - x -1 = 0, cuyas soluciones son (1 + sqr(5))/2 y (1 - sqr(5))/2, donde sqr(5) simboliza la raíz cuadrada de cinco. Descartando la negativa, obtenemos así el buscado número de oro.

Pero sqr(5), no se podía expresar como cociente de dos enteros, pues, si así fuese, tendríamos que sqr(5) = a/b, donde a y b son primos entre si (simplificando si es necesario). Por lo tanto 5 = a2 / b2, o bien a2 = 5 b2, es decir a2 es múltiplo de cinco, y por lo tanto a también debe de serlo ( a2 = a . a ). Sea, entonces a = 5 k, con lo que (5 k )2 = 5 b2, es decir 5 k2 = b2, llegando a que también b es múltiplo de cinco, en contradicción con el hecho de que a y b eran primos entre si. Por lo tanto sqr(5), no es un número racional y en consecuencia el número de oro tampoco. A tal número, le llamaron irracional, por no ajustarse a los esquemas que, hasta entroncas, tenían de los números.

Otro problema que se relacionó con su introducción, fue el cálculo de la diagonal de un cuadrado de lado uno, que por el teorema de Pitágoras conduce al número sqr(2), que por un razonamiento análogo al anterior tampoco es un número racional.

También justifico su introducción, la necesidad de asociar a todo segmento orientado de la recta con origen un punto fijo de la misma, y con respecto a un segmento tomado como unidad, un número único (su longitud) y recíprocamente.

Es de hacer notar que los razonamientos anteriores, los hicieron a través de métodos geométricos y no algebraicos, como hemos hecho.

...