Metodo De Cuadratura Gausiana

4.2.4. Método de cuadratura Gaussiana.

En las formulas de integración pasadas considerando que los espaciamientos son iguales, es decir que la variable independiente x esta dividida en intervalos equiespaciados. Gauss observo que a falta de exigir la condición de conocimiento de la función f(x) en valores predeterminados, una formula de tres términos requeriría seis parámetros (en vez de tres como el caso de Simpson) y correspondería a una formula de integración poli nómica de grado cinco. Las formulas gaussianas pueden aplicarse cuando la función f(x) se conoce explícitamente si por el contrario, se conocen valores equiespaciados de la función ya que estas han sido evaluadas experimentalmente, se deben usar las formulas de integración numérica.

Las formulas de integración de Gauss tienen la forma:

Donde, wi son las funciones de peso y f(x) son las n+1 evaluaciones de la función f(x)-

Cuadratura Gauss Legendre

El objetivo de este método es aproximar la función f(x), por un polinomio pn (x) que sea ortogonal con respecto a una función de peso dado, en el intervalo.

f(x)=Pn(x)+Rn(x)

Donde w(x) son funciones de peso, Pn(x) es el polinomio seleccionado y Rn(x) es el residuo originado por la aproximación.

Es conveniente que los límites de integración sea entre (-1,1) y no entre (a, b ). para ello se puede hacer un sencillo cambio de variable de la siguiente forma:

Así se tiene que.

L1 es el polinomio de Legendre:

Nótese que I e I’ están relacionadas de la siguiente manera:

Reagrupando los términos de la primera ecuación de esta cuadratura, se tiene:

Se puede demostrar que si la función F(t) es equivalente a un polinomio de grado inferiros o igual a un polinomio de grado 2n+1, la integral es exacta si los coeficientes son calculados por la formula:

Las funciones Ω(t) son funciones positivas integrales asociadas a la propiedad de ciertos polinomios ortogonales. De hecho los valores que aparecen en el cálculo de la sumatoria son justamente las raíces de estos mismos polinomios ortogonales, raíces utilizadas en el desarrollo:

Dependiendo del intervalo (a,b), también llamado dominio, se selecciona el tipo de polinomio que satisfaga la ecuación general del método de Romberg.

Finalmente el resultado de la integral es:

Polinomios de Legendre:

Dominio (1,1), función de peso Ω(x)=1

Coeficientes para la cuadratura de Gauss-Legendre

ti wi

2 +-0,577350269189 1

3 o

+-0,774596669241 0,888…(=8/9)

0,555…(=5/9)

4 +-0,339981043585

+-0,861136311594 0,652145154862

0,347854845137

5 O

+-0,538463310106

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