Método símplex

Hasta este momento se han presentado los detalles del método símplex con la suposición de que el problema se encuentra en nuestra forma estándar (maximizar Z sujeta a las restricciones funcionales de la forma  y restricciones de no negatividad sobre todas las variables) con bi  0 para toda i = 1, 2, ..., m. En esta sección se establecerá cómo hacer los ajustes requeridos a otras formas legítimas de modelos de Programación Lineal. Se verá que todos estos ajustes se pueden hacer en el paso inicial, de manera que el resto del método símplex se aplica justo como se aprendió.

El único problema serio que introducen las otras formas de restricciones funcionales (= ó ) es identificar una solución inicial básica factible. Antes, esta solución inicial se encontraba en forma muy conveniente al hacer que las variables de holgura fueran las variables básicas iniciales, donde cada una era igual a la constante no negativa del lado derecho de la ecuación correspondiente. Ahora debe hacerse algo más. El enfoque estándar que se utiliza es estos casos es la técnica de variables artificiales. Ésta construye un problema artificial más conveniente introduciendo una variable ficticia (llamada variable artificial) en cada restricción que lo requiera. Esta nueva variable se introduce sólo con el fin de que sea la variable básica inicial para esa ecuación. Las restricciones usuales de no negatividad también se aplican sobre estas variables y la función objetivo se modifica para que imponga unapenalización exorbitante en el caso de que adquieran valores mayores que cero. Las iteraciones del método símplex automáticamente fuerzan a las variables artificiales a desaparecer (a volverse cero) una a una, hasta que todas quedan fuera de la solución; después de esto se resuelve el problemareal.

Para ilustrar la técnica de las variables artificiales, primero se considerará el caso en que la única forma no estándar en el problema es la presencia de una o más restricciones en forma de igualdad.

Restricciones en forma de igualdad.

En realidad, cualquier restricción en forma de igualdad:

ai1x1 +ai2x2 + . . . + ainxn = bi

es equivalente a dos restricciones de desigualdad:

ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn  bi,

ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn  bi

Sin embargo, en lugar de hacer esta sustitución e incrementar con ello el número de restricciones, es más conveniente usar la técnica de la variable artificial. Suponga que se modifica el problema de ejemplo presentado y resuelto en la sección anterior. El único cambio que sufre el modelo de programación lineal es que la tercera restricción, 3x1 + 2x2  18, se convierte en una restricción de igualdad:

3x1 + 2x2 = 18

Aplicando la técnica de las variables artificiales se introduce una variable artificial no negativa (denotada por x5) en la última ecuación, como si fuera una variable de holgura:

3x1 + 2x2 + x5 =18

En resumen si tenemos una restricción funcional en forma de igualdad y deseamos “pasarla a su forma de igualdad”, únicamente debemos sumar una variable artificial.

Restricciones funcionales de la forma 

Para ilustrar la manera en que la técnica de las variables artificiales maneja las restricciones de la forma  usaremos el siguiente ejemplo:

Minimizar Z = 0.4x1 + 0.5x2

sujeta a 0.3x1 + 0.1x2  2.7

0.5x1 + 0.5x2 = 6

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