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Integración por descomposición en fracciones simples.

Consideremos integrales de la forma dx, donde P(x) y Q(x) son polinomios en x. Si el grado de P(x) es mayor que el de Q(x), efectuamos la división de polinomios. Si C(x) es el cociente, y R(x) el resto, será:

dx = C(x) dx + dx

Sea pues el grado de P(x) menor que el de Q(x).

Efectuamos la descomposición de Q(x) en la forma:

Q(x) = (x - a1).(x - a2)...(x - an)

Caso 1.- Si las raíces del polinomio, ai, son reales y distintas, identificamos el integrando con la siguiente suma de fracciones simples:

= + + .. +

Determinamos el valor de los Ai efectuando la suma de fracciones:

=

e identificando los coeficientes de los polinomios de los dos numeradores. La integral quedará:

dx = A1ln(x - a1) + A2ln(x - a2) + .. + Anln(x - an)

Ejemplo: dx. Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, efectuamos la división, obteniendo:

Es decir: = x - 1 + . Por tanto:

dx = - x + dx

y en la segunda integral, el numerador es de grado menor que el denominador.

Descomponiendo: x3 + x2 - 4x - 4 = x - 2 x + 2 x + 1 , y,

= + + =

Identificando los numeradores será:

x2 + x - 3 = A1 x + 2 x + 1 + A2 x - 2 x + 1 + A3 x - 2 x + 2

Para x = 2, será: 3 = 12A1, para x = - 2, -1 = 4A2, y para x = - 1, -3 = - 3A3.

Del sistema , A1 = , A2 = - , A3 = 1.

= + + , y la integral será:

dx = dx + dx + dx =

= ln(x - 2) - ln(x + 2) + ln(x + 1) + C = ln (x + 1) + C.

La integral pedida es:

dx = - x + ln (x + 1) + C

Caso 2.- Si el denominador tiene también raíces reales múltiples del tipo (x - b)k, por cada una de ellas añadimos a la suma de fracciones simples del caso anterior las siguientes:

+ + .. +

obteniendo la integral como suma de logaritmos neperianos y potencias de exponente negativo.

Ejemplo: dx.

Descomponemos el denominador, y: x3 + 3x2 - 4 = (x - 1)(x + 2)2.

Las fracciones simples serán:

= + + = .

Identificando los numeradores:

x2 + x + 3 = A(x + 2)2 + B1(x - 1)(x + 2) + B2(x - 1).

Para x = 1, 5 = 9A, para x = - 2, 5 = - 3B2, y por ejemplo para x = 0,

3 = 4A - 2B1 - B2. El sistema será: , de donde : A = , B1 = , y B2 = - .

dx = dx + dx + dx =

ln(x - 1) + ln(x + 2) - + C =

= ln + + C.

Caso 3.- Si en el denominador aparece un factor cuadrático irreducible (ax2 + bx + c) añadimos a la suma de fracciones de los casos anterior una fracción del tipo . Una vez identificados los coeficientes M y N, a dicha fracción corresponderán integrales del tipo logarítmico y arco tangente.

Ejemplo: dx.

La descomposición del denominador es: x3 + 2x2 + 2x + 1 = x2 + x + 1 x + 1

(Al factor cuadrático x2 + x + 1 le corresponden las raíces complejas : - + i y - - i)

Identificamos = + , obteniendo A = 6, M = - 5, y N = - 2.

dx = 6 ln x + 1 - ln x2 + x + 1 + arctan 1 + 2x + C.

Método de descomposición en fracciones simples

Tratamos de resolver integrales de la forma

donde y son polinomios.

Si el grado del polinomio del numerador es mayor o igual que el grado el polinomio del denominador , entonces lo primero que habrá que hacer es dividir los polinomios de manera que

es el cociente de la división y será el resto. Es evidente que en se verifica .

Por lo tanto

La primera integral no tiene ninguna dificultad, es la integración de un polinomio, en cuanto a la segunda, veremos a continuación los procedimientos a seguir para resolverla.

Lo que haremos será descomponer el denominador en fracciones simples de alguno de los tipos anteriores (1,2,3).

En vez de perdernos en desarrollos teóricos pasaremos a estudiar el método a través de la resolución de un ejemplo.

Ejemplo 7.7.: Resolver

En nuestra integral el grado del numerador es 3 y el del denominador es 4, por lo tanto estamos en disposición de descomponer el integrando en fracciones simples.

Aplicando Ruffini obtenemos la descomposición del denominador, que en nuestro caso es

Se observa que hay una raíz doble en y el polinomio es irreducible.

La técnica consiste en descomponer el integrando en fracciones tipo 1, 2, ó 3 de acuerdo con las siguientes normas:

1. Por cada raíz simple del denominador tendremos una fracción simple del tipo 1.

2. Por cada raíz múltiple de multiplicidad , tendremos una suma de fracciones de la forma

Observamos que el primer sumando es una fracción del tipo 1 y el resto de fracciones son del tipo 2.

3. Por cada polinomio irreducible de segundo grado de la forma

Tendremos una fracción de la forma

Que es del tipo 3.

Resumiendo, tenemos que descomponer nuestra función integrando en tantas fracciones de los tipos anteriores como sea necesario según las raíces simples, múltiples o polinomios de segundo grado irreducibles como sea necesario según la descomposición del denominador en factores. Posteriormente habrá que determinar las constantes.

En nuestro ejemplo por la raíz doble habrá que poner dos fracciones y

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