Relaciones de equivalencia

Relaciones de equivalencia

Las relaciones de equivalencia son relaciones entre los elementos de un conjunto cualquiera y su característica principal es que abstraen el concepto de igualdad.

La importancia de estas relaciones consiste en que dividen a los elementos del conjunto en diferentes clases, llamadas clases de equivalencia, de tal suerte que cada elemento pertenece a una y sólo una clase.

Tomemos un conjunto cualquiera y sean y dos elementos en (lo cual denotamos por ). Si está relacionado con escribiremos . Una relación de equivalencia en es una relación que satisface las siguientes propiedades:

Reflexividad: para toda en .

Simetría: si , entonces .

Transitividad: si y , entonces

Relación de Orden en Q

OBSERVACIONES

1. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes procedimientos:

a) Igualar numeradores.

b) Igualar denominadores.

c) Convertir a número decimal.

2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.

Densidad en Q

Quiere decir que entre 2 números cualesquiera, hay infinita cantidad de números.

Ej.: Tomemos 0 y 2

Entre ellos esta el 1

Ahora, entre 0 y 1

Esta el 0,5

Entre 0 y 0,5

0,25

0.125

0.0625… entre 0 y 0,000003814697265625.

Densidad

Asimismo la recta numérica permite visualizar que dado dos números racionales siempre es posible encontrar otro comprendido entre los números dados. Esta propiedad es característica de los números racionales y se denomina Densidad.

Por ejemplo, ¿cómo podríamos hacer para encontrar un racional entre 5/4 y 6/4?

Una estrategia sería hallar el promedio entre dichos números:

5/4 + 6/4 = 11/4

11/4 x 2 = 11/8

5/4 menor que 11/8 menor que 6/4

Propiedad de la densidad

Los números racionales cumplen la propiedad de la densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre los dos en la recta real (R).

Además, Q es denso en R, o sea que entre dos reales distintos, siempre cabe un racional.

Expresiones decimales de los Racionales

Todo número racional puede expresarse en base decimal. Esta expresión es, por decirlo coloquialmente, lo que la mayoría de gente entiende por un número con coma.

Veamos qué queremos decir con el siguiente ejemplo.

El número racional 12 puede escribirse como 0,5.

Y entonces leemos cero coma cinco en vez de un medio.

Esta expresión es útil si nos estamos refiriendo, por ejemplo a un precio o longitud, donde es necesario hacerse una idea del valor del número racional.

Esta expresión en base decimal no puede ser siempre exacta ya que por ejemplo 13=0,33333… y deberíamos escribir infinitos 3, lo que nos llevaría demasiado tiempo. En este caso diremos que el resultado es cero coma tres periódico.

Siempre que digamos periódico nos referiremos a que el número debe ser repetido infinitas veces.

Lo escribimos poniendo una barra encima del número periódico.

En nuestro ejemplo 13=0,3ˆ.

El periodo no tiene porque involucrar todos los números detrás de la coma. El periodo también puede ser un número de más de una cifra. Por ejemplo:

155=0,018181818…=0,018ˆ

En este caso el periodo es 18 y el cero no pertenece a él. Deberíamos leer cero coma cero con dieciocho periódicos.

Dado un número con periodo podemos recuperar la expresión como cociente utilizando el siguiente procedimiento.

Sea a el número correspondiente a quitar la coma de la expresión y quitar todos los números del periodo. Sea b el número correspondiente a añadir por la derecha los dígitos del periodo al número a. Pongamos también que la parte decimal no correspondiente al periodo tiene m cifras y el periodo tenga n cifras. Entonces nuestra expresión decimal corresponde al cociente de b−a por el número con n nueves seguido de m ceros.

Desde otro punto de vista, un número es racional decimal si admite una representación fraccionaria decimal.

Para que un número racional sea decimal, su denominador tiene que ser potencia de 2, de 5 o producto de ambos.

Al dividir numerador para denominador de racionales decimales se obtiene resto 0 y la expresión con coma que resulta es finita.

Son fracciones decimales:

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